Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
1
()(1/)11(1/)1
,
//
yxxxxxxx
xx
xxxxxxx
µµµµ
µµ−
∆+∆−+∆−+∆−
===
∆∆∆∆
получим , что
1
0
lim.
x
y
yx
x
µ
µ
−
∆→
∆
′
==
∆
Частные случаи формулы :
11
1
22
2
1111
2
2
xxxx
xx
x
−
−
′

′′′
==−===


3. Пусть
,0,.
x
yaaxR
=>∈
Поскольку
1
,
xxxx
x
yaaa
a
xxx
+∆∆
∆−−
==
∆∆∆
то
0
limln.
x
x
y
yaa
x
∆→
∆
′
==
∆
Частный случай формулы :
().
xx
ee
′
=
4. Пусть
log,0.
a
yxx
=>
Тогда, используя теорему о производной
обратной функции, получаем
111
.
lnln
x
y
y
y
xaaxa
′
===
′
Частный случай формулы :
1
(ln).
x
x
′
=
5. Пусть
sin,.
yxxR
=∈
Ранее было показано, что
cos.
yx
′
=
6. Пусть
cos,.
yxxR
=∈
Поскольку
cossin(),
2
xx
π
=+
то, используя
теорему о производной сложной функции, получаем
(sin())
2
yx
π
′′
=+=
cos()()sin1sin.
22
xxxx
ππ
′
=++=−⋅=−
7. Пусть
tg,,.
2
yxxnnZ
π
π=≠+∈
Тогда
22
sincoscos(sin)sin1
(tg).
coscoscos
xxxxx
x
xxx
′

⋅−−
′
===


8. Пусть
ctg,,.
yxxnnZ
π
=≠∈
Тогда
22
cossinsincoscos1
(ctg).
sinsinsin
xxxxx
x
xxx
′

−⋅−⋅
′
===−


                                                18
  ∆ y ( x +∆ x ) µ − x µ                   µ
                            µ (1 +∆ x / x ) −1 1
                                                                      µ
                                                    µ −1 (1 +∆ x / x ) −1
     =                   =x                      =x                       ,
  ∆x        ∆x                    ∆x/ x        x             ∆x/ x

                           ∆y
получим, что y′ = lim         = µ x µ −1 .
                  ∆ x→ 0 ∆ x

  Частные случаи формулы:
         � 1� ′
                                                     1
                     −1       1                            1 −12  1
          � �   =( x    )′ =−   2
                                  , (    x ) ′ = ( x 2 ′
                                                       ) =   x =     .
           � x�               x                            2     2 x
  3. Пусть y =a x , a >0, x ∈ R . Поскольку

                               ∆ y a x +∆ x −a x    x a
                                                        ∆x
                                                           −1
                                  =              =a           ,
                               ∆x        ∆x              ∆x
              ∆y
то y′ = lim       = a x ln a . Частный случай формулы: ( e x )′ =e x .
        ∆x→ 0 ∆ x

   4. Пусть y = log a x , x >0. Тогда, используя теорему о производной
обратной функции, получаем
                                 1       1        1
                         y′x =       = y     =        .
                                x ′y  a ln a   x ln a
                                           1
   Частный случай формулы: (ln x )′ = .
                                           x
   5. Пусть y =sin x , x ∈ R . Ранее было показано, что y ′ = cos x .
                                                            π
   6. Пусть y =cos x , x ∈ R . Поскольку cos x = sin ( x + ) , то, используя
                                                            2
теорему о производной сложной функции, получаем

                    π                π       π
     y′ = (sin ( x + ))′ = =cos ( x + ) ( x + )′ =−sin x ⋅ 1 =−sin x .
                    2                2       2

                                     π
  7. Пусть y = tg x , x ≠              +π n , n ∈ Z . Тогда
                                     2
                         �   sin x� ′    cos x ⋅cos x −( −sin x ) sin x     1
         (tg x )′ = �              �   =                2
                                                                        =         .
                     �       cos x�                  cos x                cos 2 x

  8. Пусть y =ctg x , x ≠π n , n ∈ Z . Тогда


                   � cos x� ′    −sin x ⋅sin x − cos x ⋅cos x      1
                ′
        (ctg x ) = �         � =               2
                                                              =− 2 .
                     � sin x�               sin x               sin x

Страницы