Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
9. Пусть
arcsin,11.
yxx
=−<<
Тогда
sin,
xy
=
(;),
y
ππ
∈−
и
22
1111
.
cos
1sin1
x
y
y
xy
yx
′
====
′
−−
10. Пусть
arccos,11.
yxx
=−<<
Тогда
cos,(0;),
xyy
π
=∈
и
22
1111
.
sin
1cos1
x
y
y
xy
yx
′
==−=−=−
′
−−
11. Пусть
arctg,.
yxxR
=∈
Тогда
(;)
22
y
ππ
∈−
и
tg.
xy
=
Поэтому
222
1111
.
cos1tg1
x
y
y
xyyx
−
′
====
′
++
12. Пусть
arcctg,.
yxxR
=∈
Тогда
(0;),ctg
yxy
π
∈=
и
222
1111
.
sin1ctg1
x
y
y
xyyx
−
′
==−=−=−
′
++
Рассмотрим теперь гиперболические функции и вычислим их
производные.
Функция
sh,,
2
xx
def
ee
xxR
−
−
=∈
называется гиперболическим синусом , функция
ch,,
2
xx
def
ee
xxR
−
+
=∈
- гиперболическим косинусом , функция
sh
th,,
ch
def
x
xxR
x
=∈
- гиперболическим тангенсом , функция
ch
cth,\{0},
sh
def
x
xxR
x
=∈ 
                                             19
                                                              π π
  9. Пусть y = arcsin x , −1 < x <1. Тогда x = sin y , y ∈( − ; ), и
                                                              2 2
                      1        1         1             1
               y′x =      =        =           =            .
                      x′y    cos y    1 −sin y
                                            2
                                                    1 − x2

  10. Пусть y =arccos x , −1 < x <1. Тогда x = cos y , y ∈(0;π ) , и

                     1        1         1            1
             y′x =       =−       =−            =−        .
                     x′y    sin y    1 −cos 2 y    1 − x2

                                             π π
  11. Пусть y =arctg x , x ∈ R . Тогда y ∈( − ; ) и x = tg y . Поэтому
                                             2 2

                             1      1     1       1
                     y′x =      =    −2
                                        =      =        .
                             x′y cos y 1 + tg y 1 + x 2
                                             2




  12. Пусть y =arcctg x , x ∈ R . Тогда y ∈(0; π ) , x =ctg y и

                       1        1       1          1
               y′x =       =− −2 =−           =−        .
                       x′y   sin y  1 + ctg y
                                           2
                                                 1 + x2

  Рассмотрим     теперь        гиперболические         функции   и   вычислим   их
производные.
  Функция
                               e x −e−x
                                  def
                       sh x =           , x ∈R ,
                                   2
называется гиперболическим синусом, функция

                                  def
                                         e x + e −x
                              ch x =                , x ∈R,
                                             2

- гиперболическим косинусом, функция

                                    de f
                                            sh x
                                th x =           , x ∈R ,
                                            ch x

- гиперболическим тангенсом, функция

                                  de f
                                           ch x
                              cth x =           , x ∈ R \{0},
                                           sh x

Страницы