Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 20 стр.

                                                20
- гиперболическим котангенсом.
    Легко видеть, что гиперболические синус                          и   косинус   связаны
соотношением
                           ch 2 x −sh 2 x =1.
                 � e x −e−� x ′         ex   + e−x
  13. (sh x )′ = �              �     =            =ch x , x ∈ R .
                   �       2 �               2

                     � e x + e −� x ′   ex   −e −x
  14. (ch x )′ = �                �   =            =sh x , x ∈ R .
                      �    2 �               2

                   ch x ⋅ch x −sh x ⋅sh x    1
  15. (th x )′ =              2
                                          = 2 , x ∈R .
                            ch x           ch x

                    sh x ⋅sh x − ch x ⋅ ch x      1
  16. (cth x )′ =                            =−        , x ∈ R \{0}.
                              sh 2 x            sh 2 x

  Сведём полученные формулы в таблицу.

 Таблица производных и дифференциалов некоторых элементарных
                           функций

  1. y = c , y ′ = 0, dy = 0.
  2. y = x µ , µ ∈ R , µ ≠ 0, y ′ = µ x µ −1 , dy = µ x µ −1 dx .
         1            1          1            dx
     y = , y′ =− 2 , dy =− 2 dx =− 2 .
         x            x          x            x
                        1          dx
     y = x , y′ =         , dy =      .
                     2 x          2 x
  3. y = a x , y ′ = a x ln a , dy = a x ln a dx .
     y = e x , y′ = e x , dy = e x dx .
                             1             dx
  4. y = loga x , y ′ =          , dy =          .
                          x ln a          x ln a
                       1           dx
     y = ln x , y ′ = , dy = .
                       x            x
                   ′
  5. y = sin x , y = cos x , dy = cos x dx .

  6. y = cos x , y ′ = −sin x , dy = −sin x dx .
                        1              dx
  7. y = tg x , y ′ =         , dy =         .
                      cos 2 x        cos 2 x
                            1               dx
  8. y = ctg x , y ′ = − 2 , dy = − 2 .
                        sin x             sin x