Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 22 стр.

                                                        22
Данная функция (называемая показательно-степенной) дифференцируема
в точке x0 ; найдём её производную в этой точке. По правилу
дифференцирования сложной функции получаем
                                                                        u′
             y′ = ( ev ln u )′ = e v ln u ( v ln u )′ = u v (v′ ln u + v ).
                                                                        u
                                                                            sin x
  Пример 2. Пусть y = x sin x , x >0. Тогда y′ = x sin x (cos x ⋅ ln x +          ).
                                                                              x

   § 3. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула
   Лейбница. Вычисление производных высших порядков обратных
            функций и функций, заданных параметрически


     Пусть функция y = f ( x ) имеет конечную производную в каждой точке
некоторой окрестности U ( x0 ) точки x0 . Тогда эта производная f ′( x ) есть
обычная функция переменной x , x ∈ U ( x0 ). Если в точке x0 у функции
 f ′( x ) существует производная ( f ′( x ))′ |x =x0 , то эта производная
называется второй производной или производной второго порядка
функции f ( x ) в точке x0 и обозначается f ′′( x0 ) или просто y ′′ .

   Опуская обозначения аргумента, можно записать

                                                   de f
                                              y ′′ = ( y ′)′ .

   Другие обозначения для второй производной:

                                   d 2 f ( x0 )                                  d 2y
                 f   (2)
                           ( x0 ),              , D f ( x9 ) , y ′′x 2 , y x 2 ,
                                                   2                      (2)
                                                                                      .
                                      dx 2                                       dx 2

   Аналогично определяются производные более высокого порядка: 3-го,
4- го и т.д.
   Пусть уже определена производная n −1 −го порядка, n ≥2, которую
мы обозначим через f ( n −1) ( x ) , и пусть эта производная конечна в каждой
точке некоторой окрестности U ( x0 ) точки x0 . Если в точке x0 у функции
 f ( n −1) ( x ) существует производная ( f ( n −1) ( x ))′ |x =x0 , то она называется
n − ой производной или производной n − го порядка функции f ( x ) в точке
x0 и обозначается f ( n ) ( x0 ) или просто y ( n ) . Таким образом,

                                                 de f
                                           y ( n ) = ( y ( n −1) )′ .