Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 23 стр.

                                              23
   Другие обозначения для n −ой производной:

                         d n f ( x0 )     (n ) d ny
                                n
                                      , y xn ,    n
                                                    , D n f ( x0 ).
                            dx                 dx

   Для удобства полагают y (0) = y .

  Замечание. Под производными высших порядков в граничных точках
промежутка понимаются односторонние производные, которые также
определяются индуктивно.

   Определение. Функция, имеющая в каждой точке промежутка X (в
точке x0 ) конечную производную n − го порядка, называется n раз
дифференцируемой на промежутке X (в точке x0 ).

   Приведём примеры нахождения производных                              высших      порядков
некоторых элементарных функций.

  1. Пусть y = xα , и пусть сначала α ≠0, 1, 2, ... , x >0. Последовательно
дифференцируя, получаем

       y′ =α xα −1 , y ′′ =α (α −1) xα −2 , y ′′′ = α (α −1) (α −2) xα −3 , и т.д.

   Методом математической индукции легко доказывается, что

                   y ( n ) = α (α −1) (α −2)...(α −n +1) xα −n , n ∈ N .                (3.1)

   Пусть теперь        α = m , m ∈N .           Тогда для           n ≤m    формула (3.1)
сохраняется, при этом y ( m ) =m !. Если же n >m , то y ( n ) = 0.

   2. Пусть y = a x , x ∈ R . Тогда

              y′ = a x ln a , y ′′ = a x (ln a )2 , y ′′′ = a x (ln a )3 , и т.д.

   По индукции получаем, что

                               ( a x ) ( n ) = a x (ln a )n , n ∈ N .                   (3.2)
   В частности,
                                  ( e x )( n ) = e x , n ∈ N .

   3. Пусть y = sin x , x ∈ R . Последовательно дифференцируя, получаем