Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
Пусть
1
λ
и
2
λ
−
произвольные фиксированные числа. Ранее было
доказано, что если функции
1
y
и
2
y
дифференцируемы в точке
0
,
то и
функция
1122
yy
λλ
+
дифференцируема в этой точке и справедлива
формула
11221122
(),
yyyy
λλλλ
′′′
+=+
так что в случае
1
m
=
соответствующее утверждение теоремы верно.
Предположим , что утверждение теоремы верно для
,
mnN
=∈
т. е.
если функции
1
y
и
2
y
имеют конечные производные порядка
n
в точке
0
,
то функция
1122
yy
λλ
+
также имеет в точке
0
x
конечную
производную порядка
n
и справедлива формула
()()()
11221122
().
nnn
yyyy
λλλλ+=+ (3.8)
Пусть теперь функции
1
y
и
2
y
1
n
+
раз дифференцируемы в точке
0
.
x
Тогда функции
1
y
и
2
y
n
раз дифференцируемы в некоторой окрестности
точки
0
x
и, по предположению , в каждой точке этой окрестности
справедливо равенство (3.8). Правая часть формулы (3.8) представляет
собой функцию , дифференцируемую в точке
0
,
поэтому функция
()
1122
()()
n
yyx
λλ+ также дифференцируема в этой точке, т.е. функция
1122
yy
λλ
+
1
n
+
раз дифференцируема в точке
0
.
x
При этом
(1)()()()(1)
11221122112211
()(())()
nnnnn
yyyyyyyλλλλλλλ
++
′′
+=+=+=+
(1)
22
,
n
yλ
+
+
и первая часть теоремы доказана.
Рассмотрим теперь произведение функций
12
.
yy
Ранее было доказано,
что если функции
1
y
и
2
y
дифференцируемы в точке
0
,
x
то функция
12
yy
также дифференцируема в точке
0
x
и справедлива формула
121212
().
yyyyyy
′′′
=+
При
1
m
=
по формуле (3.7) получаем
1
(1)()0(1)(0)1(0)(1)
121121121121212
0
(),
kkk
k
yyCyyCyyCyyyyyy
−
=
′′′
==+=+
∑
                                                25
  Пусть λ1 и λ2 − произвольные фиксированные числа. Ранее было
доказано, что если функции y1 и y2 дифференцируемы в точке x0 , то и
функция λ1 y1 +λ 2 y2 дифференцируема в этой точке и справедлива
формула

                            (λ1 y1 +λ2 y2 )′ = λ1 y1′ +λ2 y2′ ,

так что в случае m =1 соответствующее утверждение теоремы верно.
    Предположим, что утверждение теоремы верно для m = n ∈ N , т. е.
если функции y1 и y2 имеют конечные производные порядка n в точке
x0 , то функция λ1 y1 +λ 2 y2 также имеет в точке x0 конечную
производную порядка n и справедлива формула

                         (λ1 y1 +λ2 y2 ) ( n ) = λ1 y1( n ) +λ 2 y2( n ) .                      (3.8)

   Пусть теперь функции y1 и y2 n +1 раз дифференцируемы в точке x0 .
Тогда функции y1 и y2 n раз дифференцируемы в некоторой окрестности
точки x0 и, по предположению, в каждой точке этой окрестности
справедливо равенство (3.8). Правая часть формулы (3.8) представляет
собой функцию, дифференцируемую в точке x0 , поэтому функция
(λ1 y1 +λ2 y2 )( n ) ( x) также дифференцируема в этой точке, т.е. функция
λ1 y1 +λ2 y2 n +1 раз дифференцируема в точке x0 . При этом

  (λ1 y1 +λ2 y2 ) ( n +1) =((λ1 y1 +λ2 y2 ) ( n ) )′ =(λ1 y1( n ) +λ2 y2( n ) )′ =λ1 y1( n +1) +

                                          + λ2 y2( n +1) ,

и первая часть теоремы доказана.

   Рассмотрим теперь произведение функций y1 y2 . Ранее было доказано,
что если функции y1 и y2 дифференцируемы в точке x0 , то функция y1 y2
также дифференцируема в точке x0 и справедлива формула

                                 ( y 1 y 2 )′ = y ′1 y 2 + y 1 y′2 .

При m =1 по формуле (3.7) получаем
                   1
    ( y1 y2 )′ = ∑ C1k y1(1−k ) y2( k ) =C10 y1(1) y2(0) +C11 y1(0) y2(1) = y1′ y2 + y1 y2′ ,
                  k =0

Страницы