Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 27 стр.

                                                 27
       Производные высших порядков обратных функций и функций,
                      заданных параметрически


     Пусть функция y = y ( x ) строго монотонна и непрерывна в некоторой
окрестности точки x0 , дважды дифференцируема в точке x0 , и пусть
 y ′( x0 ) ≠0. В силу непрерывности функции y ′( x ) в точке x0 условие
 y ′( x ) ≠0 выполняется и в некоторой окрестности U точки x0 . Тогда из
теоремы о производной обратной функции следует, что в каждой точке
 y ∈V = y (U ) выполняется равенство
                                               1
                                  x′( y ) =          ,             (3.10)
                                            y ′( x )

где y ∈V , x ∈U , y = y ( x ). Правую часть формулы (3.10) можно
рассматривать как сложную функцию аргумента y, т.е.

                                 1
                                       = ϕ ( x ) =ϕ ( x ( y )), y ∈V .
                              y ′( x )

Поскольку функция ϕ ( x ) дифференцируема в точке x0 , а функция
x = x ( y ) дифференцируема в точке y0 = y ( x0 ), то сложная функция
ϕ ( x ( y )) , т.е. x ′( y ), будет дифференцируемой в точке y0 . При этом

           d           d �     1�        �d � 1    dx       1              1        y ′′
   x′′ =      ( x ′) =    �     �     = � �      ⋅    =−          ⋅ y ′′ ⋅    = −          ,
           dy          dy �    y� ′      � � y ′ dy
                                        dx               ( y ′) 2          y′     ( y ′) 3

т.е.
                                                        y′′( x0 )
                                      x′′( y0 ) = −                  .
                                                      ( y ′( x0 )) 3

  Аналогично рассматривается случай производных более высокого
порядка.

   Пусть на некотором промежутке T заданы две функции

                                      x = x ( t ), y = y (t ) ,

и пусть одна из них, например, x = x (t ), строго монотонна на T . Тогда
существует обратная функция t = t ( x ), заданная на X = x (T ).
   Сложная функция