Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 28 стр.

                                     28
                          y = y (t ( x )) , x ∈ X ,
называется параметрически заданной функцией.

  Пример 2.      Пусть T = R , x =t 3 , y =t 6 +1. Данные уравнения
определяют функцию, которая может быть явно задана с помощью
формулы y = x 2 +1.

   Пусть теперь функции x(t ) и y (t ) дифференцируемы в точке t0 ,
x′(t0 ) ≠0, и пусть функция x(t ) непрерывна и строго монотонна в
некоторой окрестности точки t0 . Тогда сложная функция y =y (t ( x ))
дифференцируема в точке x0 = x (t0 ) как композиция дифференцируемых
функций y( t ) и t ( x ). При этом справедлива формула

                                                        1    y′
                             y′x = yt′ ⋅ t ′x = yt′ ⋅       = t .
                                                        xt′  xt′

   Предположим, что функции x( t ) и y( t ) дважды дифференцируемы в
точке t0 , и пусть x ′(t0 ) ≠0. Рассуждая так же, как и при рассмотрении
второй производной обратной функции, получаем, что функция y =y (t ( x ))
дважды дифференцируема по x в точке x0 = x(t0 ), причём


                             ′ � y� t ′ ′� � yt ′         yt′′2 ⋅ xt′ − xt′′2 ⋅ yt′
           y′′x2 = ( y′x )′x = � �      = � �     ⋅ t ′ =                           .
                                  x ′
                                � �t x � � t tx ′     x
                                                                    ( xt′ ) 3




   Аналогично рассматриваются производные и более высокого порядка.

                      Дифференциалы высших порядков

   Пусть функция y = f ( x ) дважды дифференцируема в точке x. Запишем
её дифференциал в этой точке
                               dy = f ′( x ) dx.
Заметим, что при фиксированной функции f ( x ) величина dy зависит как
от точки x , так и от дифференциала dx .

   Дифференциал от дифференциала первого порядка

                                        dy = f ′( x ) dx

функции y = f ( x ), рассматриваемого только как функция переменной
x (т.е. приращение dx аргумента x предполагается постоянным), при