Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
так что в случае
1
m
=
соответствующее утверждение теоремы верно.
Пусть утверждение теоремы верно для
,
mnN
=∈
т.е. если функции
1
y
и
y
n
раз дифференцируемы в точке
0
,
x
то функция
12
yy
также
n
раз
дифференцируема в точке
x
и справедлива формула
()()()
1212
0
().
n
nknkk
n
k
yyCyy
−
=
=
∑
(3.9)
Пусть теперь функции
1
y
и
y
1
n
+
раз дифференцируемы в точке
0
.
x
Тогда функции
1
y
и
y
n
раз дифференцируемы в некоторой окрестности
точки
x
и в каждой точке этой окрестности, по предположению ,
справедлива формула (3.9). Правая часть формулы (3.9) представляет
собой функцию , дифференцируемую в точке
0
,
x
поэтому функция
()
12
()()
n
yyx
также дифференцируема в точке
0
,
x
т .е. функция
12
yy
1
n
+
раз дифференцируема в точке
0
.
x
При этом
(1)()()()(1)()()
121212121
00
()(())(
nn
nnknkkknkknk
nn
kk
yyyyCyyCyyy
+−−+−
==
′

′
===+⋅


∑∑
(1)(1)()(1(1))(1)(1)()
2121212
000
)
nnn
kknkkknkkknkk
nnn
kkk
yCyyCyyCyy
++−+−+++−
===
⋅=+=+
∑∑∑
1
1(1)()0(1)(1)()1(1)()
12121212
111
n
nn
mnmmnmnmmmnmm
nnnn
mmm
CyyCyyCyyCyy
+
−+−++−−+−
===
+=+++
∑∑∑
(1)0(1)1(1)()1(1)
1211212112
1
()
n
nnnmmnmmnn
nnnnn
m
CyyCyyCCyyCyy
++−+−++
++
=
+=+++=
∑
1
(1)()
112
0
.
n
mnmm
n
m
Cyy
+
+−
+
=
=
∑
Теорема доказана.
Формулу (3.7) называют формулой Лейбница.
Пример 1. Пусть
2
,.
x
yxexR
=∈ Вычислим , например,
(100)
.
y Имеем
100
2(100)2()(100)0212
100100100100
0
()()()22
xkkxkxxx
k
xeCxeCxeCxeCe
−
=
==+⋅⋅+⋅⋅=
∑
22
100249502(2009900).
xxxx
xexeeexx=+⋅⋅⋅+⋅⋅=++
                                                                           26
так что в случае m =1 соответствующее утверждение теоремы верно.
   Пусть утверждение теоремы верно для m =n ∈ N , т.е. если функции y1
и y2 n раз дифференцируемы в точке x0 , то функция y1 y 2 также n раз
дифференцируема в точке x0 и справедлива формула

                                                                           n
                                        ( y1 y2 )( n ) = ∑ Cnk y1( n −k ) y2 ( k ) .                               (3.9)
                                                                       k =0



    Пусть теперь функции y1 и y2 n +1 раз дифференцируемы в точке x0 .
Тогда функции y1 и y2 n раз дифференцируемы в некоторой окрестности
точки x0 и в каждой точке этой окрестности, по предположению,
справедлива формула (3.9). Правая часть формулы (3.9) представляет
собой функцию, дифференцируемую в точке x0 , поэтому функция
( y1 y2 )( n ) ( x ) также дифференцируема в точке x0 , т.е. функция y1 y2 n +1
раз дифференцируема в точке x0 . При этом


                                             �         n                            � ′ n k ( n −k +1) ( k )
 ( y1 y2 )   ( n +1)
                       =( ( y1 y2 ) )′ =�
                                  (n)
                                                      ∑C           k
                                                                   n
                                                                       ( n −k )
                                                                       y
                                                                       1          y � = ∑ Cn ( y1
                                                                                   (k )
                                                                                   2                  y2 + y1( n −k ) ⋅
                                                 �    k =0                           �  k =0
                       n                                      n                                    n
 ⋅ y2( k +1) ) = ∑ Cnk y1( n +1−k ) y2( k ) + ∑ Cnk y1( n +1−( k +1)) y2( k +1) = ∑ Cnk y1( n +1−k ) y2( k ) +
                   k =0                                      k =0                                 k =0
  n +1                                                                     n                       n
+∑ Cnm −1 y1( n +1−m ) y2( m ) =Cn0 y1( n +1) y2 + ∑ Cnm y1( n +1−m ) y2( m ) + ∑ Cnm −1 y1( n +1−m ) y2( m ) +
  m =1                                                                 m =1                       m =1
                                                               n
+Cnn y1 y2( n +1) = Cn0+1 y1( n +1) y2 + ∑ (Cnm +Cnm −1 ) y1( n +1−m ) y2( m ) + Cnn++11 y1 y2( n +1) =
                                                             m =1
                                                        n +1
                                                     = ∑ Cnm+1 y1( n +1−m ) y2( m ) .
                                                       m =0

   Теорема доказана.

   Формулу (3.7) называют формулой Лейбница.

   Пример 1. Пусть y = x 2 e x , x ∈ R . Вычислим, например, y (100) . Имеем

                           100
( x 2 e x ) (100) = ∑ C100
                        k
                           ( x 2 ) ( k ) ( e x ) (100 −k ) =C100
                                                             0
                                                                 x 2 e x + C100
                                                                            1
                                                                                ⋅2 x ⋅e x + C100
                                                                                              2
                                                                                                 ⋅2 ⋅e x =
                           k =0



             = x 2 e x + 100 ⋅2 ⋅ x ⋅e x + 4950 ⋅2 ⋅e x = e x ( x 2 + 200 x +9900).

Страницы