Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
cossin(),(sin())cos()()
2222
yxxyxxx
ππππ
′′′′′
==+=+=++=
cos()1sin(),
222
xx
πππ
=+⋅=++
и т. д.
Индукцией легко доказывается , что
()
2
n
n
xxnN
π
=+∈
(3.3)
4. Пусть
cos,.
yxxR
=∈
Аналогично доказывается , что
()
(cos)cos(),.
2
n
n
xxnN
π
=+∈
(3.4)
5. Пусть теперь
ln(1),1.
yxx
=+>−
Выполняя последовательно
дифференцирования , получаем
(4)
234
11223
,,,,
1(1)(1)(1)
yyyy
xxxx
⋅
′′′′′′
==−==−
++++
и т.д.
Индукцией легко доказывается , что
()1
(1)!
(1),.
(1)
nn
n
n
ynN
x
−
−
=−∈
+
(3.5)
Справедливо следующее утверждение .
Теорема. Пусть функции
11
()
yyx
=
и
22
()
yyx
=
имеют в точке
0
x
конечные производные
m
−
го порядка,
.
mN
∈
Тогда в точке
0
x
любая их
линейная комбинация
112212
,,,
yyR
λλλλ
+∈
а также их произведение
12
yy
также имеют конечные производные порядка
,
m
причём
()()()
11221122
(),
mmm
yyyy
λλλλ+=+
(3.6)
()()()
1212
0
(),
m
mkmkk
m
k
yyCyy
−
=
=
∑
(3.7)
где
(0)(0)
1122
,.
yyyy
==
Доказательство. Докажем теорему индукцией по
.
m
Рассмотрим
сначала случай линейной комбинации функций . 
                                                24
                          π                    π               π       π
     y′ = cos x =sin ( x + ), y ′′ = (sin ( x + ))′ = cos ( x + ) ( x + )′ =
                          2                    2               2       2
                              π                 π π
                  = cos ( x + ) ⋅1 =sin ( x + + ), и т. д.
                              2                  2 2

   Индукцией легко доказывается, что

                                                          πn
                             (sin x )( n ) = sin ( x +       ), n ∈ N .                 (3.3)
                                                           2

   4. Пусть y = cos x , x ∈ R . Аналогично доказывается, что

                                                           πn
                             (cos x )( n ) = cos ( x +        ) , n ∈N .                (3.4)
                                                            2

  5. Пусть теперь y = ln (1 + x ) , x >−1. Выполняя последовательно
дифференцирования, получаем

             1                1                    2                      2 ⋅3
    y′ =        , y ′′ = −            , y ′′′ =            , y (4) = −            , и т.д.
           1 +x            (1 + x ) 2
                                                (1 + x ) 3
                                                                       (1 + x ) 4

   Индукцией легко доказывается, что

                                                     ( n −1)!
                             y ( n ) = ( −1) n −1               , n ∈N .                (3.5)
                                                     (1 + x ) n

   Справедливо следующее утверждение.

   Теорема. Пусть функции y1 = y1 ( x ) и y2 = y2 ( x ) имеют в точке x0
конечные производные m −го порядка, m ∈ N . Тогда в точке x0 любая их
линейная комбинация λ1 y1 +λ 2 y2 , λ1 , λ2 ∈ R , а также их произведение
y1 y 2 также имеют конечные производные порядка m, причём

                          (λ1 y1 +λ2 y2 )( m ) = λ1 y1( m ) +λ 2 y2( m ) ,              (3.6)
                                               m
                             ( y1 y2 )( m ) = ∑ Cmk y1( m −k ) y2( k ) ,                (3.7)
                                              k =0

где y1(0) = y1 , y2(0) = y2 .

   Доказательство. Докажем теорему индукцией по m . Рассмотрим
сначала случай линейной комбинации функций.

Страницы