Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 30 стр.

                                                     30
и формула доказана. Отметим, что из соотношения (3.11) следует, что
                                     dny
                              y(n) = n .
                                     dx
   Умножая формулу (3.7) на dx , получим следующее выражение для
                                  m

дифференциала порядка m произведения двух m раз дифференцируемых
функций
                                               m
                            d m ( y1 y2 ) = ∑ Cmk d m −k y1 ⋅d k y2 ,                           (3.12)
                                              k =0

где d y1 = y1 , d y2 = y2 .
       0              0




  Покажем,    что   дифференциалы     порядков    n ≥2    свойством
инвариантности формы относительно выбора переменной не обладают.

    Пусть x − независимая переменная и пусть функция y = f ( x ) дважды
дифференцируема. Тогда её дифференциал второго порядка имеет вид
d 2 y = f ′′( x ) dx 2 . Пусть теперь x есть функция от t , x =ϕ ( t ) , и пусть ϕ ( t )
также дважды дифференцируемая функция. Тогда сложная функция
 y = f (ϕ (t )) будет дважды дифференцируемой, поскольку функция
dy / dt = f ′(ϕ (t ))ϕ ′(t ) является дифференцируемой. Вычислим второй
дифференциал от y по переменной t. В силу инвариантности формы
первого дифференциала мы можем записать dy в виде dy = f ′( x ) dx .
Отметим, что в рассматриваемом случае и f ′( x ), и dx есть функции от t .
Снова используя инвариантность формы первого дифференциала,
получаем

d 2 y =d ( dy ) =d ( f ′( x) dx ) =d ( f ′( x )) dx + f ′( x ) d 2 x = f ′′( x ) dx 2 + f ′( x ) d 2 x .

   Таким образом, если x перестаёт быть независимой переменной, то
второй дифференциал y по новой переменной выражается уже
двучленной формулой
                     d 2 y = f ′′( x ) dx 2 + f ′( x ) d 2 x , (3.13)

так что форма второго дифференциала не сохраняется. Легко видеть, что
свойством инвариантности формы не обладают и дифференциалы более
высокого порядка.
   Отметим ещё, что если формулу (3.13) разделить на dt 2 , то получим
соотношение

                                                          2
                             d 2y             � dx�                        d 2x
                                2
                                  = f ′′( x) � �              + f ′( x )        .
                             dt                � dt�                       dt 2