Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
условии, что повторное приращение независимой переменной
x
совпадает
с первоначальным, называется вторым дифференциалом или
дифференциалом второго порядка функции
()
yfx
=
в данной точке
x
и
обозначается
2
()
dfx
или просто
2
.
Таким образом ,
22
()(())(())(())()(),
dfxddfxdfxdxdfxdxfxdxdxfxdx
′′′′′′
====⋅=
или
22
(),
dyyxdx
′′
=
где
22
().
def
dxdx
=
Из выписанной формулы следует , что
2
2
().
dy
yx
dx
′′
=
Дифференциал порядка
3
n
≥
вводится аналогично.
Приведём определение дифференциала произвольного порядка
2.
n
≥
Пусть функция
()
yfxn
=
раз дифференцируема в точке
x
и пусть уже
определён дифференциал порядка
1
n
−
в этой точке.
Дифференциалом
n
−
го порядка называется дифференциал от
дифференциала порядка
1
n
−
при условии, что в дифференциалах всё
время берутся одни и те же приращения
dx
независимой переменной
.
x
Дифференциал
n
−
го порядка обозначают через
()
n
dfx
или
.
n
Итак ,
1
()).
def
nn
dyddy
−
=
При этом справедлива формула
()
,
nnn
dyydx
=
(3.11)
где
().
def
nn
dxdx
=
Докажем формулу (3.11) индукцией по
.
n
Для
2
n
=
эта формула верна. Предположим , что она верна для
дифференциала порядка
,2,
nmNm
=∈≥
и пусть функция
()1
yfxm
=+
раз дифференцируема в точке
.
x
Тогда
1()()(1)1
())()(),
mmmmmmmm
dyddydydxdydxydx
+++
==== 
                                                     29
условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает
с   первоначальным,     называется   вторым   дифференциалом      или
дифференциалом второго порядка функции y = f ( x ) в данной точке x и
обозначается d 2 f ( x ) или просто d 2 y .

   Таким образом,

d 2 f ( x ) = d ( df ( x )) = d ( f ′( x ) dx ) = d ( f ′( x )) dx = f ′′( x ) dx ⋅dx = f ′′( x ) dx 2 ,

                                                     или

                                         d 2 y = y ′′( x ) dx 2 ,
           de f
                                                                                           d 2y
где dx 2 = ( dx ) 2 . Из выписанной формулы следует, что y ′′( x ) =                            .
                                                                                           dx 2
   Дифференциал порядка n ≥3 вводится аналогично.

   Приведём определение дифференциала произвольного порядка n ≥ 2.

  Пусть функция y =f ( x ) n раз дифференцируема в точке x и пусть уже
определён дифференциал порядка n −1 в этой точке.

   Дифференциалом n −го порядка называется дифференциал от
дифференциала порядка n −1 при условии, что в дифференциалах всё
время берутся одни и те же приращения dx независимой переменной x .

   Дифференциал n − го порядка обозначают через d n f ( x ) или d n y . Итак,

                                              de f
                                       d n y = d ( d n −1 y )).

При этом справедлива формула

                                          d n y = y ( n ) dx n ,                                   (3.11)
           de f
где dx n = ( dx ) n . Докажем формулу (3.11) индукцией по n.
   Для n = 2 эта формула верна. Предположим, что она верна для
дифференциала         порядка   n = m ∈ N , m ≥ 2,  и    пусть функция
 y = f ( x) m +1 раз дифференцируема в точке x . Тогда

         d m +1 y = d ( d m y )) = d ( y ( m ) dx m ) = d ( y ( m ) ) dx m = y ( m +1) dx m +1 ,

Страницы