Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 31 стр.

                                                     31
                    § 4. Дифференциальные теоремы о среднем


  Определение. Если функция имеет в некоторой точке конечную или
определённого знака бесконечную производную, то говорят, что функция
имеет в этой точке производную в широком смысле.

    Справедливо следующее утверждение.

   Теорема (Ферма). Если функция определена в некоторой окрестности
точки    x0 , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в
рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке x0 производную в
широком смысле, то эта производная равна нулю.

   Доказательство. Пусть f : U ( x0 ) → R и пусть функция f принимает
в точке x0 наибольшее в окрестности U ( x0 ) значение, так что для
∀ x ∈U ( x0 ) f ( x ) ≤ f ( x0 ). Тогда выполняются условия:

                                   f ( x ) − f ( x0 )
                                                      ≥ 0 , если x < x0 ,                              (4.1)
                                         x − x0

                                                      и

                                   f ( x ) − f ( x0 )
                                                      ≤ 0 , если x > x0 .                              (4.2)
                                         x − x0

                                                                                   f ( x ) − f ( x0 )
Из неравенства (4.1) следует, что                     f −′ ( x0 ) = lim                                ≥ 0, а
                                                                     x → x0 −0          x −x0
                                                                                       f ( x ) − f ( x0 )
из неравенства (4.2) следует, что                         f +′ ( x0 ) = lim                               ≤ 0.
                                                                           x → x0 +0        x −x0
Поскольку          f ′ ( x0 ) = f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ), то выполняется неравенство
0 ≤ f ′ ( x0 ) ≤ 0, т. е. f ′ ( x0 ) =0.
  Случай наименьшего в точке x0 значения рассматривается аналогично.
  Теорема доказана.

     Теорема (Ролль). Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] ,
имеет в каждой точке интервала ( a ; b ) производную в широком смысле
и принимает равные значения на концах отрезка [ a ; b ], т.е. f ( a ) =
 = f (b) , то существует по крайней мере одна точка ξ ∈ ( a ; b ) такая, что
 f ′ ( ξ ) = 0.