Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
Доказательство. Заметим сначала, что если функции
1
()
yx
и
2
()
yx
определены в некоторой окрестности точки
0
x
и
10
(),
yx
=±∞
20
(),,
yxccR
=∈
то
120
()().
yyx
±=±∞
Введём теперь в рассмотрение
на отрезке
[;]
ab
функцию
()()
()()()()
fbfa
Fxfxfaxa
ba
=−−−
−
и покажем , что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
Действительно, функция
()
Fx
непрерывна на отрезке
[;],
ab
имеет в
каждой точке интервала
(;)
ab
производную в широком смысле, причём
()0,()0,
FaFb
==
т.е.
()().
FaFb
Поэтому существует точка
ξ
(;)
ab
такая , что
()0.
F
=
Но тогда
()()()()
()(()()())|0
x
fbfafbfa
fFxfaxa
baba
ξ
ξ
=
−−
′′
=++−=+=
−−
()()
,
fbfa
ba
=
−
т .е.
()()
().
fbfa
f
ba
ξ
′
=
−
Поэтому имеет место равенство
()()()()
fbfafba
−=−
, и
теорема доказана.
Геометрическая иллюстрация теоремы приведена на рис. 4.2, на
котором показано, что касательная к графику функции
()
yfx
в точке
(;())
f
ξξ
параллельна хорде , проходящей через точки
(;())
afa
и
(;())
bfb
Формула (4.3) называется формулой конечных приращений Лагранжа.
Замечание . Отметим , что формула (4.3) верна и в том случае, когда
.
ab
>
Действительно, в этом случае, по уже доказанному, найдётся точка
(;)
ba
такая , что будет верно равенство
()()()().
fafbfab
−=−
(4.4)
Умножая равенство (4.4) на - 1, получим , что
()()()(),
fbfafba
−=−
где точка
ξ
находится между точками
a
и
b
. 
                                              33
        Доказательство. Заметим сначала, что если функции                 y1 ( x ) и
y2 ( x ) определены в некоторой окрестности точки x0 и y1′ ( x0 ) = ±∞ ,
y2′ ( x0 ) =c , c ∈ R , то ( y1 ± y2 )′ ( x0 ) = ±∞. Введём теперь в рассмотрение
на отрезке [a ; b] функцию
                                                 f (b) − f (a )
                   F ( x) = f ( x) − f (a) −                    ( x −a )
                                                     b −a
и покажем, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
Действительно, функция F ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], имеет в
каждой точке интервала ( a ; b ) производную в широком смысле, причём
F ( a ) = 0, F ( b ) = 0, т.е. F ( a ) =F ( b ). Поэтому существует точка
ξ ∈( a ; b ) такая, что F ′ ( ξ ) = 0. Но тогда

                                    f (b ) − f ( a )                       f ( b) − f ( a )
 f ′ (ξ ) = ( F ( x ) + f ( a ) +                    ( x −a ))′ |x =ξ =0 +                  =
                                        b −a                                    b −a

                         f (b ) − f ( a )                  f (b ) − f ( a )
                    =                     , т.е. f ′(ξ ) =                  .
                             b −a                              b −a

   Поэтому имеет место равенство                     f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b −a ) , и
теорема доказана.

    Геометрическая иллюстрация теоремы приведена на рис. 4.2, на
котором показано, что касательная к графику функции y = f ( x ) в точке
(ξ ; f (ξ )) параллельна хорде, проходящей через точки ( a ; f ( a )) и
(b ; f (b ))

   Формула (4.3) называется формулой конечных приращений Лагранжа.

  Замечание. Отметим, что формула (4.3) верна и в том случае, когда
a >b . Действительно, в этом случае, по уже доказанному, найдётся точка
ξ ∈(b ; a ) такая, что будет верно равенство

                               f ( a) − f (b) = f ′ ( ξ ) ( a −b ) .                     (4.4)

Умножая равенство (4.4) на - 1, получим, что

                            f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ),

где точка ξ находится между точками a и b .

Страницы