Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 35 стр.

                                                   35
     Доказательство. Пусть f ( x ) непрерывна на отрезке [a ; b] и пусть
 f ′(ξ ) = 0 для любой точки ξ ∈( a ; b). Фиксируем произвольную точку
x0 ∈ ( a ; b ] и применим к сужению функции f ( x ) на отрезок [a ; x0 ]
теорему Лагранжа. В силу этой теоремы найдётся точка ξ ∈ ( a ; x0 ) такая,
что будет верно равенство

                                   f ( x0 ) − f ( a ) = f ′(ξ ) ( x0 − a ).           (4.7)

Поскольку f ′(ξ ) = 0, то из (4.7) следует, что f ( x0 ) = f ( a ). Таким
образом, f ( x ) = f ( a ) для ∀ x ∈[a ; b].

      Следствие 2. Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке X и
имеет производную в каждой его внутренней точке. Пусть, далее,
существует постоянная M > 0 такая, что для любой внутренней точки x
промежутка X ` выполняется неравенство | f ′ ( x )| ≤ M . Тогда функция
 f ( x ) равномерно непрерывна на промежутке X .

     Доказательство. Фиксируем произвольное ε >0 и положим δ =ε / M .
Пусть x1 и x2 - произвольные точки из промежутка X , x1 ≠ x2 . Тогда,
применив к сужению функции f ( x ) на отрезок с концами x1 и x2 теорему
Лагранжа, получим, что между точками x1 и x2 найдётся точка ξ такая,
что будет верно равенство f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ ) ( x2 − x1 ). Поэтому, если
точки x2 и x1 таковы, что | x2 − x1 | <δ , то будет выполняться неравенство
| f ( x2 ) − f ( x1 )| <ε , поскольку (если x1 ≠ x2 )

                                                                             ε
                      | f ( x2 ) − f ( x1 )| =| f ′(ξ ) || x2 − x1 | < M ⋅     =ε .
                                                                             M

  Следствие 3. Пусть функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ x0 ; x0 + H ],
H > 0, и имеет конечную производную на множестве ( x0 , x0 + H ].
Пусть, далее, существует конечный или определённого знака бесконечный
предел lim f ′ ( x ) = K . Тогда в точке x0 существует производная справа
          x → x0 +0

и f +′ ( x0 ) = K .

   Доказательство. Возьмём произвольное ∆ x , 0 <∆ x < H . Используя
формулу конечных приращений Лагранжа, запишем разностное отношение
для f +′ ( x0 ) в виде
                 f ( x0 +∆ x) − f ( x0 )
                                         = f ′( x0 +θ ∆ x ) , где 0 <θ <1.
                          ∆x