Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 36 стр.

                                          36
   Заметим, что если ∆ x → 0, то x0 +θ ∆ x → x0 , и, т. к. ∆ x >0, то
x0 +θ ∆ x ≠ x0 . Поэтому, применяя теорему о пределе композиции
функций, получаем, что

             f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )
     lim                              = lim f ′( x0 +θ ∆ x ) = lim f ′(ξ ) = K .
     ∆x→ 0            ∆x               ∆x→ 0                   ξ → x0



  Таким образом, производная справа функции                      f ( x ) в точке   x0
существует и верно равенство f +′ ( x0 ) = K .

     Аналогичное утверждение верно и для левой производной f −′ ( x0 )
функции f ( x ), рассматриваемой на отрезке [ x0 − H , x0 ], H >0.
                                                                 1
     Пример. Пусть y = 3 x . Тогда, если x ≠0, то y′( x) =           , и, т.к.
                                                              3 3 x2
          1               1
lim           = lim           = +∞, то  y−′ (0) = y+′ ( 0) = +∞.     Поэтому
x → +0          x → −0
       3 3 x2          3 3 x2
y ′ (0) =+∞.

   Теорема (Коши) Если функции f ( x ) и g ( x )

  1 ) непрерывны на отрезке [ a ; b ] ;
  2 ) дифференцируемы в каждой точке интервала ( a ; b )
      и выполняется условие
  3 ) g ′ ( x ) ≠0 во всех точках x ∈( a ; b ),
      то существует такая точка ξ ∈ ( a ; b ) , что верно равенство

                             f (b) − f (a )   f ′ (ξ )
                                            =          .
                             g (b) − g ( a)   g ′ (ξ )

   Доказательство. Заметим сначала, что g (b ) ≠ g ( a ), поскольку в
противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка η ∈( a ; b ) такая,
что g ′ (η ) =0. Введём в рассмотрение на отрезке [ a ; b ] функцию

                                          f (b) − f (a )
           F ( x ) = f (x ) − f ( a ) −                  ( g ( x ) − g ( a ))
                                          g (b) − g (a )

и покажем, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
Действительно, функция     F ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ],
дифференцируема на интервале ( a ; b ) , причём