Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 38 стр.

                                             38
   2) выполняются условия lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = 0;
                                 x→ a                x→ a

    3) в промежутке ( a ; b] существуют конечные производные f ′( x ) и
g ′( x ) , причём g ′( x ) ≠ 0 для любого x ∈( a ; b];
                                                           f ′( x )
    4) существует (конечный или нет) предел lim                     = K.
                                                     x → a g ′( x )

                                                                    f ( x)
          Тогда в точке a существует предел и у частного                   , причём
                                                                    g ( x)
                                          f ( x)
                                    lim          = K.
                                    x → a g ( x)



     Доказательство. Доопределим функции f ( x ) и g ( x ) в точке a , полагая
 f ( a ) = 0, g ( a ) = 0. Тогда функции f ( x ) и g ( x ), определённые уже на
отрезке [a ; b], будут непрерывны на этом отрезке. Заметим, что для
∀ x ∈ ( a ; b] выполнено условие g ( x ) ≠ 0, поскольку, если предположить,
что g ( x0 ) = 0 в некоторой точке x0 ∈ ( a ; b], то по теореме Ролля
получим, что найдётся точка η ∈( a ; x0 ) такая, что g ′(η ) = 0, чего быть
не может. Итак, g ( x ) =0 только при x = a . Фиксируем произвольную
                                         f ( x)
точку x ∈ ( a ; b] и запишем частное            в виде
                                        g ( x)

                             f ( x)   f ( x ) − f (a )
                                    =                  .
                             g ( x)   g ( x ) − g (a )

       К функциям f ( x ) и g ( x ) , рассматриваемым на отрезке [ a ; x ],
применим теорему Коши. В силу этой теоремы на интервале
( a ; x ) найдётся точка ξ =ξ ( x ) такая, что будет верно равенство

                             f ( x ) − f (a )   f ′(ξ )
                                              =         ,
                             g ( x ) − g (a )   g ′(ξ )
т.е. равенство
                                        f ( x)   f ′(ξ )
                                               =         .                    (5.1)
                                        g ( x)   g ′(ξ )

Заметим, что если x → a , то и ξ → a , причём ξ ≠ a для ∀ x ∈ ( a ; b ].
Поэтому по теореме о пределе композиции получаем, что

                                  f ′(ξ )         f ′(ξ )
                          lim             = lim           =K.
                          x→ a    g ′(ξ )   ξ → a g ′(ξ )