Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

40
2
1
000
1
2
1
11
(
()()
()
)
limlimlim,
111
()
()()()
ttt
f
f
ft
t
tt
K
gt
gg
ttt
→+→+→+
′
′
⋅−
′
===
′
′′
⋅−
то и
1
0
1
()
lim.
()
t
ft
K
gt
→+
=
Заметим , что
1
1
1
()
()
()
,
1
()
f
ft
fx
t
gxgt
g
t
==
(5.2)
где
1
.
t
x
=
При
0,
xt
→+∞→+
причём
0
t
≠
для
[;).
xc
∀∈+∞
По
теореме о пределе композиции получаем , что
11
0
11
()()
limlim.
()()
xt
ftft
K
gtgt
→+∞→+
==
Из соотношения (5.2) теперь следует , что
()
lim.
()
x
fx
K
gx
→+∞
=
Теорема доказана.
Приведём пример использования теоремы 1.
Пример 1. Вычислим предел
0
tg
lim.
sin
x
xx
xx
→
−
−
Имеем
22
22
0000
tgcos11cos1cos
limlimlimlim
sin1coscos(1cos)cos
xxxx
xxxxx
xxxxxx
−
→→→→
−−−+
====
−−−
0
2
0
lim(1cos)
2
2.
limcos1
x
x
x
x
→
→
+
===
                                                    40

                                            1         1                 1
                                      f ′ (   ) ⋅ ( −   )         f ′(
                   f 1′(t )                 t        t 2 = lim         t)
             lim             = lim                                        =K,
            t → +0 g ′ ( t )   t → +0       1        1     t → +0      1
                     1                  ′
                                      g ( ) ⋅( − 2 )                ′
                                                                  g( )
                                            t        t                 t

то и
                                             f 1 (t )
                                       lim                   =K.
                                    t → +0   g 1 (t )
  Заметим, что
                                          1
                                        f( )
                               f ( x)
                                      =   t = f 1 (t ) ,                                (5.2)
                               g ( x)     1   g 1 (t )
                                        g( )
                                          t

         1
где t = . При x → +∞ t → +0, причём t ≠ 0 для ∀ x ∈[c ; +∞). По
         x
теореме о пределе композиции получаем, что

                                  f 1 (t )                   f 1 (t )
                          lim                = lim                      = K.
                         x → +∞   g 1 (t )          t → +0   g 1 (t )

                                                                          f ( x)
 Из соотношения (5.2) теперь следует, что lim                                    = K.
                                                                 x → +∞   g ( x)
  Теорема доказана.

  Приведём пример использования теоремы 1.


                                                    tg x − x
  Пример 1. Вычислим предел lim                              . Имеем
                                         x→ 0       x −sin x


      tg x − x        cos −2 x − 1            1 −cos 2 x             1 +cos x
lim            = lim               = lim                     = lim            =
x → 0 x −sin x   x→ 0  1 −cos x      x → 0 cos x (1 −cos x )
                                              2                x → 0  cos 2 x

                                lim (1 +cos x )                  2
                                x→ 0
                           =                    2
                                                             =     = 2.
                                  lim cos x                      1
                                  x→ 0

Страницы