Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 39 стр.

                                            39
                                                          f ( x)
Из соотношения (5.1) теперь следует, что частное                 имеет предел при
                                                          g ( x)
                         f ( x)
x → a , причём lim              = K.
                  x→ a   g ( x)
   Теорема доказана.

  Аналогичная теорема справедлива и в том случае, когда частное
функций f ( x ) / g ( x ) рассматривается на промежутке [α ; a ), α , a ∈ R , или
                               0
в проколотой окрестности U ( a ) точки a . Теорема легко распространяется
и на тот случай, когда a = ±∞, или a = ∞. Рассмотрим, например,
случай, когда a = +∞.

   Справедливо следующее утверждение.

   Теорема 2. Пусть

   1) функции f ( x ) и g ( x ) определены на промежутке [c ; +∞);
   2) выполняются условия lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = 0;
                                   x → +∞        x → +∞

    3) в промежутке [c ; +∞) существуют конечные производные f ′( x ) и
g ′( x ) , причём g ′( x ) ≠ 0 для любого x ∈[ c ; +∞);
                                                            f ′( x )
    4) существует (конечный или нет) предел lim                      = K.
                                                     x → +∞ g ′( x )

                                                                          f ( x)
    Тогда при x → +∞ существует предел и у частного                              ,
                                                                          g ( x)
причём
                                          f ( x)
                                    lim           = K.
                                   x → +∞ g ( x )



   Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что c >0.
               1                                      1           1
Положим x = и рассмотрим функции f 1 (t ) = f ( ) , g 1 (t ) = g ( ),
               t                                      t           t
       1
t ∈(0 ; ]. По теореме о пределе композиции получаем, что
       c
                                1
                            f ′( )
                      lim       t = lim f ′( x) = K .
                     t → +0     1  x → +∞ g ′( x )
                            g ′( )
                                t

   Применим к функциям f 1 (t ) и g 1 (t ) теорему 1. Поскольку