Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 41 стр.

                                          41
                                                                 ∞
                  Раскрытие неопределённости вида
                                                                 ∞

                                                             f ( x)
   Будем говорить, что частное двух функций                         , определённое в
                                                             g ( x)
                                             0
некоторой проколотой окрестности U ( a ) точки a , представляет собой
                      ∞
неопределённость вида   , если
                      ∞
                    lim f ( x ) = ∞, lim g ( x ) = ∞.
                        x→ a                   x→ a

                                                               ∞
   Аналогично     вводится         понятие       неопределённостипри вида
                                                               ∞
x → a +0 ( x → a −0) , при x → +∞( x → −∞) , а также при x → ∞.

   Справедливо следующее утверждение.

   Теорема 3. Пусть

   1) функции f ( x ) и g ( x ) определены в промежутке ( a ; b], a ∈ R , b ∈ R ;
   2) выполняются условия lim f ( x ) = ∞, lim g ( x ) = ∞;
                                   x→ a               x→ a

    3) в промежутке ( a ; b] существуют конечные производные f ′( x ) и
g ′( x ) , причём g ′( x ) ≠ 0 для любого x ∈ ( a ; b];
                                                           f ′( x )
    4) существует (конечный или нет) предел lim                     = K.
                                                     x → a g ′( x )

                                                                    f ( x)
          Тогда в точке a существует предел и у частного                   , причём
                                                                    g ( x)
                                          f ( x)
                                    lim          = K.
                                    x → a g ( x)



     Данное утверждение примем без доказательства. Заметим лишь, что
аналогичная теорема справедлива и в том случае, когда частное функций
 f ( x ) / g ( x ) рассматривается на промежутке вида [α ; a ), α , a ∈ R , или в
                               0
проколотой окрестности U ( a ) точки a . Теорема распространяется и на тот
случай, когда a = ±∞, или a = ∞.

   Замечание. Можно показать, что в теоремах 1 – 3 из условий 1,2,3
следует, что если K − бесконечность, то K = ±∞, т.е. эта бесконечность
знакоопределённа.