Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 43 стр.

                                                 43
                    p′′ ( x) =1⋅2 ⋅a2 +2 ⋅3⋅a3 x +... +( n −1) n an x n −2 ,
                      p′′′ ( x ) = 1⋅2 ⋅3⋅a3 +... +( n −2) (n −1) n an x n −3 ,

                      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

                                  p ( n ) ( x ) = 1⋅2 ⋅3⋅ ...⋅n an .

   Полагая в этих формулах x =0 , получим, что

                            p′ (0)        p′′ (0)        p′′′ (0)              p ( n ) (0)
       a0 = p (0), a1 =            , a2 =         , a3 =          , ... , an =             ,
                             1!            2!              3!                      n!

                                   p ( k ) (0)
                        т. е. ak =             , k =0, 1, 2, 3, ... , n .
                                       k!

   Разложим теперь многочлен      p ( x ) по степеням       x − x0 ,                             где
x0 − произвольное фиксированное число, т. е. представим его в виде

     p ( x) = b0 +b1 ( x −x0 ) + b2 ( x − x0 ) 2 + b3 ( x −x0 )3 + ... +bn ( x −x0 ) n .

   Одновременно докажем возможность такого разложения.

    Введём новую переменную ξ = x − x0 , так что                        x =ξ + x0 , и потому
p ( x ) = p (ξ + x0 ) = P (ξ ). Пусть P (ξ ) имеет вид

                     P (ξ ) = A0 + A1 ξ + A2 ξ 2 + A3 ξ 3 +... + An ξ n .

   Тогда, по уже доказанному

                                          P( k ) (0)
                                   Ak =              , k = 0, 1, 2, 3, ... , n .
                                             k!

   Выполняя дифференцирования, получаем

   P′ (ξ ) =( p (ξ + x0 ))′ = p′ (ξ + x0 ) , P′′ (ξ ) =( p′ (ξ + x0 ))′ = p′′ (ξ + x0 ) ,

P′′′ (ξ ) = ( p′′ (ξ + x0 ))′ = p′′′ (ξ + x0 ) , ... , P ( n ) (ξ ) =( p ( n −1) (ξ + x0 ))′ =

                                        = p( n ) (ξ + x0 ).