Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

44
Поэтому
()()
0
(0)(),
kk
Ppx
=
0,1,2,3,...,.
kn
=
Таким образом ,
k
A
=
()
0
()
!
k
px
k
=
0,1,2,3,...,
kn
=
и, следовательно, справедливо равенство
23
000
0000
()()()
()()()()()...
1!2!3!
pxpxpx
pxpxxxxxxx
′′′′′′
=+−+−+−++
()
0
0
()
().
!
n
n
px
xx
n
+−
Ясно, что разложение многочлена
()
px
по степеням
0
xx
−
единственно
( получены явные выражения для коэффициентов).
Последняя формула называется формулой Тейлора для многочленов.
Частный случай формулы , когда
0
0,
x
=
называется формулой
Маклорена.
Из доказанного следует , что если многочлен
()
px
имеет вид
23
123
00000
()()()()...(),
1!2!3!!
n
n
cccc
pxcxxxxxxxx
n
=+−+−+−++−
то с необходимостью
()
0
(),0,1,2,3,...,.
k
k
cpxkn
==
Формула Тейлора для произвольной функции
Пусть функция
()
fx
определена на промежутке
X
точка
0
,
xX
∈
и
пусть функция
()
fxn
раз дифференцируема в точке
0
x
Составим
многочлен вида
()
2
000
0000
()()()
()()()()...().
1!2!!
n
n
n
fxfxfx
Pxfxxxxxxx
n
′′′
=+−+−++−
В силу уже доказанного справедливы равенства
()()
00
()(),0,1,...,.
kk
n
Pxfxkn
==
(6.1)
Введём теперь в рассмотрение функцию
()()()
nn
rxfxPx
=−
(6.2) 
                                                   44
   Поэтому P ( k ) (0) = p ( k ) ( x0 ) , k = 0,1, 2, 3,..., n . Таким образом, Ak =
  p ( k ) ( x0 )
=                , k =0, 1, 2, 3, ... , n и, следовательно, справедливо равенство
       k!
                        p′( x0 )                 p′′ ( x0 )               p′′′ ( x0 )
  p ( x ) =p ( x0 ) +            ( x −x0 ) +                ( x −x0 ) 2 +             ( x −x0 )3 +... +
                          1!                        2!                       3!
                                         p ( n ) ( x0 )
                                      +                 ( x − x0 )n .
                                              n!

   Ясно, что разложение многочлена p ( x ) по степеням x − x0 единственно
(получены явные выражения для коэффициентов).

   Последняя формула называется формулой Тейлора для многочленов.

  Частный случай формулы, когда          x0 = 0, называется формулой
Маклорена.
  Из доказанного следует, что если многочлен p ( x ) имеет вид

                   c1            c                c                     c
 p ( x) = c0 +        ( x −x0 ) + 2 ( x − x0 ) 2 + 3 ( x − x0 )3 + ... + n ( x −x0 ) n ,
                   1!            2!               3!                    n!

то с необходимостью ck = p ( k ) ( x0 ) , k = 0, 1, 2, 3, ..., n .


                 Формула Тейлора для произвольной функции


  Пусть функция f ( x ) определена на промежутке X , точка x0 ∈ X , и
пусть функция f ( x ) n раз дифференцируема в точке x0 . Составим
многочлен вида

                        f ′( x0 )              f ′′( x0 )                    f ( n ) ( x0 )
Pn ( x) = f ( x0 ) +              ( x − x0 ) +            ( x −x0 ) 2 +... +                ( x − x0 ) n .
                           1!                     2!                              n!

В силу уже доказанного справедливы равенства

                            Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ), k =0,1, ... , n .                      (6.1)

   Введём теперь в рассмотрение функцию

                                      rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x )                                 (6.2)

Страницы