Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

46
0
0
()()
()
,
()()()
xx
xx
ϕϕ
ϕξ
φφφξ
′
−
=
′
−
(6.3)
где
00
xxx
ξθθ
=+−∈
Подставляя в формулу (6.3) выражение
для
(),
ϕξ
′
получим соотношение
(1)
0
()1()
(),
()()()!
n
n
n
rxf
x
xxn
ξ
ξ
φφφξ
+
=−−
′
−
из которого следует , что
(1)
0
()()
()
()().
()!
n
n
n
xx
f
rxx
n
φφ
ξ
ξ
φξ
+
−
=−−
′
(6.4)
Выбирая теперь различные функции
(),
z
φ
получим для функции
()
n
rx
различные выражения .
1) Пусть сначала
1
()().
n
zxzφ
+
=−
Тогда
1
00
()(),
n
xxxφ
+
=−
()0,
x
φ
=
()(1)().
n
znxz
φ
′
=−+−
В этом случае из равенства (6.4) получаем , что
1(1)(1)
1
0
0
()()()
()()(),
(1)()!(1)!
nnn
nn
n
n
xxff
rxxxx
nxnn
ξξ
ξ
ξ
+++
+
−
=−=−
+−+
т.е.
(1)
1
0
()
()(),
(1)!
n
n
n
f
rxxx
n
ξ
+
+
=−
+
где
00
xxx
ξθθ
=+−∈
Таким образом , справедлива формула
2
00
000
()()
()()()()()()...
1!2!
nn
fxfx
fxPxrxfxxxxx
′′′
=+=+−+−++
()(1)
1
0
00
()
()
()(),
!(1)!
nn
nn
fx
f
xxxx
nn
ξ
+
+
+−+−
+
(6.5)
где
00
xxx
ξθθ
=+−∈
Легко видеть, что полученная формула
справедлива и в случае
0
.
xx
<
                                                     46

                                         ϕ ( x0 ) −ϕ ( x )   ϕ ′(ξ )
                                                           =         ,                                  (6.3)
                                         φ( x0 ) −φ( x )     φ′(ξ )

где ξ = x0 +θ ( x − x0 ) , θ ∈(0; 1). Подставляя в формулу (6.3) выражение
для ϕ ′(ξ ), получим соотношение

                              rn ( x )        1    f ( n +1) (ξ )
                                         =−                       ( x −ξ ) n ,
                         φ( x0 ) −φ( x )    φ′(ξ )       n!

из которого следует, что

                                         φ( x0 ) − φ( x ) f ( n +1) (ξ )
                          rn ( x ) = −                                   ( x −ξ ) n .                   (6.4)
                                              φ′(ξ )            n!

   Выбирая теперь различные функции φ( z ) , получим для функции rn ( x )
различные выражения.

  1) Пусть сначала φ( z ) =( x − z ) n +1 . Тогда φ( x0 ) =( x − x0 ) n +1 , φ( x ) = 0,
φ′( z ) =−( n +1) ( x − z ) n . В этом случае из равенства (6.4) получаем, что

                       ( x − x0 ) n +1   f ( n +1) (ξ )              f ( n +1) (ξ )
       rn ( x ) =                                       ( x −ξ ) n
                                                                   =                ( x − x0 ) n +1 ,
                    ( n +1) ( x −ξ )   n
                                               n!                    ( n +1)!
т.е.
                                             f ( n +1) (ξ )
                                  rn ( x ) =                ( x − x0 ) n +1 ,
                                             ( n +1)!

где ξ = x0 +θ ( x − x0 ), θ ∈(0; 1).

   Таким образом, справедлива формула

                                                 f ′( x0 )              f ′′( x0 )
   f ( x ) = Pn ( x ) + rn ( x ) = f ( x0 ) +              ( x − x0 ) +            ( x − x0 ) 2 +... +
                                                    1!                     2!

                            f ( n ) ( x0 )              f ( n +1) (ξ )
                          +                ( x − x0 ) +
                                                     n
                                                                       ( x − x0 ) n +1 ,                (6.5)
                                 n!                     ( n +1)!

где ξ = x0 +θ ( x − x0 ), θ ∈(0; 1). Легко видеть, что полученная формула
справедлива и в случае x < x0 .

Страницы