Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 47 стр.

                                                    47
     Формула (6.5) называется формулой Тейлора для функции f ( x ) с
дополнительным членом в форме Лагранжа. В частном случае, когда
x0 =0, формулу (6.5) называют формулой Маклорена.
     Многочлен Pn ( x ) называется многочленом Тейлора порядка n функции
 f ( x ).
     Если ввести обозначение ∆ x = x − x0 , то полученную формулу можно
записать в виде
                                                        f ′′( x0 )              f ( n ) ( x0 )
        f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x +                 ∆ x 2 +... +                ∆ xn +
                                                            2!                       n!
                                               ( n +1)
                                             f         (ξ )
                                         +                   ∆ x n +1 .                               (6.6)
                                              (n +1)!

  Положив в соотношении (6.6) n =0, получим формулу конечных
приращений Лагранжа

                            f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) = f ′(ξ ) ( x − x0 ),

                                ξ = x0 +θ ( x − x0 ), θ ∈ (0; 1).

  2) Пусть теперь φ( z ) = x − z . Тогда φ( x0 ) = x − x0 , φ( x ) =0, φ′( z ) =−1.
Из формулы (6.4) теперь получаем, что

                                                   f ( n +1) (ξ )
                              rn ( x ) =( x − x0 )                ( x −ξ ) n ,
                                                         n!

где ξ = x0 +θ ( x − x0 ), 0 <θ <1.
Выполним преобразование

   ( x −ξ ) n =( x − x0 −θ ( x − x0 ))n =(( x − x0 ) (1 −θ ))n = (1 −θ ) n ( x − x0 ) n .

Тогда rn ( x ) запишется в виде

                                      f ( n +1) ( x0 +θ ( x − x0 ))
                 rn ( x ) =( x − x0 )                               (1 −θ ) n ( x − x0 ) n =
                                                     n!

                    f ( n +1) ( x0 +θ ( x − x0 ))
                =                                 (1 −θ ) n ( x − x0 ) n +1 , 0 <θ <1.
                                   n!

   Функция rn ( x ) , записанная в таком виде, называется дополнительным
членом формулы Тейлора в форме Коши.