Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

47
Формула (6.5) называется формулой Тейлора для функции
()
fx
с
дополнительным членом в форме Лагранжа. В частном случае, когда
0
0,
x
=
формулу (6.5) называют формулой Маклорена.
Многочлен
()
n
Px
называется многочленом Тейлора порядка
n
функции
fx
Если ввести обозначение
0
,
xxx
∆=−
то полученную формулу можно
записать в виде
()
2
00
000
()()
()()()...
2!!
n
n
fxfx
fxxfxfxxxx
n
′′
′
+∆−=∆+∆++∆+
(1)
1
()
.
(1)!
n
n
f
x
n
ξ
+
+
+∆
+
(6.6)
Положив в соотношении (6.6)
0,
n
=
получим формулу конечных
приращений Лагранжа
000
()()()(),
fxxfxfxx
ξ
′
+∆−=−
00
(),(0;1).
xxx
ξθθ
=+−∈
2) Пусть теперь
().
zxz
φ
=−
Тогда
00
(),()0,()1.
xxxxz
φφφ
′
=−==−
Из формулы (6.4) теперь получаем , что
(1)
0
()
()()(),
!
n
n
n
f
rxxxx
n
ξ
ξ
+
=−−
где
00
(),01.
xxx
ξθθ
=+−<<
Выполним преобразование
000
()(())(()(1))
nnn
xxxxxxxξθθ
−=−−−=−−=
0
(1)().
nn
xxθ−−
Тогда
()
n
rx
запишется в виде
(1)
00
00
(())
()()(1)()
!
n
nn
n
fxxx
rxxxxx
n
θ
θ
+
+−
=−−−=
(1)
1
00
0
(())
(1)(),01.
!
n
nn
fxxx
xx
n
θ
θθ
+
+
+−
=−−<<
Функция
(),
n
rx
записанная в таком виде , называется дополнительным
членом формулы Тейлора в форме Коши. 
                                                    47
     Формула (6.5) называется формулой Тейлора для функции f ( x ) с
дополнительным членом в форме Лагранжа. В частном случае, когда
x0 =0, формулу (6.5) называют формулой Маклорена.
     Многочлен Pn ( x ) называется многочленом Тейлора порядка n функции
 f ( x ).
     Если ввести обозначение ∆ x = x − x0 , то полученную формулу можно
записать в виде
                                                        f ′′( x0 )              f ( n ) ( x0 )
        f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x +                 ∆ x 2 +... +                ∆ xn +
                                                            2!                       n!
                                               ( n +1)
                                             f         (ξ )
                                         +                   ∆ x n +1 .                               (6.6)
                                              (n +1)!

  Положив в соотношении (6.6) n =0, получим формулу конечных
приращений Лагранжа

                            f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) = f ′(ξ ) ( x − x0 ),

                                ξ = x0 +θ ( x − x0 ), θ ∈ (0; 1).

  2) Пусть теперь φ( z ) = x − z . Тогда φ( x0 ) = x − x0 , φ( x ) =0, φ′( z ) =−1.
Из формулы (6.4) теперь получаем, что

                                                   f ( n +1) (ξ )
                              rn ( x ) =( x − x0 )                ( x −ξ ) n ,
                                                         n!

где ξ = x0 +θ ( x − x0 ), 0 <θ <1.
Выполним преобразование

   ( x −ξ ) n =( x − x0 −θ ( x − x0 ))n =(( x − x0 ) (1 −θ ))n = (1 −θ ) n ( x − x0 ) n .

Тогда rn ( x ) запишется в виде

                                      f ( n +1) ( x0 +θ ( x − x0 ))
                 rn ( x ) =( x − x0 )                               (1 −θ ) n ( x − x0 ) n =
                                                     n!

                    f ( n +1) ( x0 +θ ( x − x0 ))
                =                                 (1 −θ ) n ( x − x0 ) n +1 , 0 <θ <1.
                                   n!

   Функция rn ( x ) , записанная в таком виде, называется дополнительным
членом формулы Тейлора в форме Коши.

Страницы