Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 49 стр.

                                               49
  Замечание. Формула (6.8) справедлива для любой n раз
дифференцируемой в точке x0 функции f ( x ). Более жёсткие ограничения
на f ( x ) были наложены, чтобы упростить вывод формулы.
  Полагая ∆ x = x − x0 , формулу (6.8) можно записать в виде

                                                          f ′′( x0 )              f ( n ) ( x0 )
 ∆f ( x0 ) = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x +              ∆ x 2 +... +                ∆ xn +
                                                              2!                       n!

                                     + o( ∆ x n ), ∆ x → 0.

Если в этом выражении положить n =1, то получим формулу

                       ∆ f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x +o( ∆ x ), ∆ x → 0,

справедливую для любой дифференцируемой в точке x0 функции.


                       Единственность многочлена Тейлора

   Справедливо следующее утверждение.

   Теорема. Если функция f ( x ) определена в окрестности точки x0 и
справедливо представление

                                 n
                   f ( x ) = ∑ ak ( x − x0 )k +o ( ( x − x0 ) n ) , x → x0 ,                     (6.9)
                             k =0



то такое представление единственно.

  Доказательство.           Предположим           противное,           т.е.    что      существует
представление
                                 n
                   f ( x ) = ∑ bk ( x − x0 ) k +o ( ( x − x0 ) n ), x → x0 ,                    (6.10)
                             k =0



причём bk ≠ ak хотя бы для одного значения индекса k . Вводя обозначеия
ck = ak −bk , k = 0, 1,..., n и вычитая из равенства (6.9) равенство (6.10),
получим соотношение
                             n
                      0 = ∑ ck ( x − x0 ) k +o ( ( x − x0 ) n ) , x → x0 .                      (6.11)
                            k =0

Переходя в равенстве (6.11) к пределу при x → x0 , получим соотношение