Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

51
2
1...(),0,
2!!
n
xn
xx
exoxx
n
=+++++→
которое можно записать в виде
0
(),0.
!
k
n
xn
k
x
eoxx
k
=
=+→
∑
2) Пусть
()sin.
fxx
=
Тогда
()()
(0)0,()sin(),(0)
2
ll
ffxxlf
π
==+=
2
ll
π
==
Поэтому, если
2,1,
lkk
=≥
то
(2)
(0)sin0;
k
fkπ
==
если же
21,1,
lkk
=−≥
то
(21)11
(0)sin()cos(1)(1)(1)(1).
2
kkkk
fkk
π
ππ
−+−
=−=−=−−=−=−
Таким образом , в разложении по формуле Тейлора функции
sin
x
будут
присутствовать только слагаемые, в которых фигурируют производные
нечётного порядка, и эти слагаемые имеют вид
21
1
(1).
(21)!
k
k
x
k
−
−
−
−
Полагая теперь
2,,
nmmN
=∈
получаем соотношение
35721
12
sin...(1)(),0,
3!5!7!(21)!
m
mm
xxxx
xxoxx
m
−
−
=−+−++−+→
−
которое можно записать в виде
21
12
1
sin(1)(),0.
(21)!
k
m
km
k
x
xoxx
k
−
−
=
=−+→
−
∑
3) Пусть
()cos.
fxx
=
Тогда
()()
(0)1,()cos(),(0)
2
ll
ffxxlf
π
==+=
cos,1,2,....
2
ll
π
== Поэтому, если
2,1,
lkk
=≥
то
(2)
(0)cos
k
fk
π
==
(1);
k
=− если же
21,1,
lkk
=−≥
то
(21)
(0)cos()0.
2
k
fk
π
π
−
=−=
Таким
образом , в разложении по формуле Тейлора функции
cos
x
присутствуют 
                                                  51
                           x2         xn
                e =1 + x +
                 x
                              + ... +    + o( x n ), x → 0,
                           2!         n!

которое можно записать в виде

                                   xk
                                   n
                           e =∑x
                                       + o( x n ) , x → 0.
                              k =0 k !



                                                                         π
   2) Пусть f ( x ) = sin x . Тогда f (0) =0, f ( l ) ( x ) =sin ( x +     l ) , f ( l ) (0) =
                                                                         2
      π
=sin      l , l =1,2,.... . Поэтому, если l = 2 k , k ≥1, то f (2 k ) (0) =sin π k = 0;
      2
если же l =2 k −1, k ≥1, то
                               π
     f (2 k −1) (0) =sin (π k − ) =− cos π k = (−1) (−1)k =(−1)k +1 = (−1)k −1 .
                               2
Таким образом, в разложении по формуле Тейлора функции sin x будут
присутствовать только слагаемые, в которых фигурируют производные
нечётного порядка, и эти слагаемые имеют вид

                                           k −1      x 2 k −1
                                   ( −1)                      .
                                                  (2 k −1)!

   Полагая теперь n = 2m , m ∈ N , получаем соотношение

              x3   x5   x7              m −1    x 2 m −1
  sin x = x −    +    −    +... + ( −1)                  + o( x 2 m ) , x → 0,
              3!   5!   7!                   (2 m −1)!

которое можно записать в виде

                           m
                                            x 2 k −1
                 sin x = ∑ (−1)    k −1
                                                     + o( x 2 m ) , x → 0.
                          k =1            (2 k −1)!

                                                                    π
  3) Пусть f ( x ) =cos x . Тогда f (0) =1, f ( l ) ( x ) =cos ( x + l ), f ( l ) (0) =
                                                                    2
      π
 =cos l , l =1,2,... . Поэтому, если l =2 k , k ≥1, то f (2 k ) (0) = cos π k =
       2
                                                                     π
 =( −1) k ; если же l =2 k −1, k ≥1, то f (2 k −1) (0) =cos (π k − ) =0. Таким
                                                                     2
образом, в разложении по формуле Тейлора функции cos x присутствуют

Страницы