Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

52
только слагаемые, в которых фигурируют производные чётного порядка,
которые имеют вид
2
(1).
(2)!
k
k
x
k
−
Полагая
21,{0},
nmmN
=+∈∪
получаем соотношение
2462
21
cos1...(1)(),0,
2!4!6!(2)!
m
mm
xxxx
xoxx
m
+
=−+−++−+→
которое можно записать в виде
2
21
0
(2)!
k
m
km
k
x
xoxx
k
+
=
=−+→
∑
4) Пусть
()(1),0,.
m
fxxmmN
=+≠∉
Тогда
(0)1,
f
=
()
()
k
fx
=
()
(1)...(1)(1),(0)(1)...(1),.
mkk
mmmkxfmmmkkN
−
=−−++=−−+∈
Поэтому, фиксируя произвольное
,
nN
∈
получаем разложение
2
(1)(1)...(1)
(1)1...(),
2!!
mnn
mmmmmn
xmxxxox
n
−−−+
+=+++++
0.
x
→
5) Пусть
()ln(1).
fxx
=+
Тогда
()1
(1)!
(0)0,()(1),
(1)
kk
k
k
ffx
x
−
−
==−
+
()1
(0)(1)(1)!,.
kk
fkkN
−
=−−∈ Фиксируя произвольное
,
nN
∈
получаем
разложение
234
1
ln(1)...(1)(),
234
n
nn
xxxx
xxox
n
−
+=−+−++−+
0.
x
→
Приведём пример использования полученных разложений .
Пример. Вычислить предел
3
0
sin
lim.
x
xx
x
→
−
Поскольку
3
sin
3!
x
xx
=−+
                                           52
только слагаемые, в которых фигурируют производные чётного порядка,
которые имеют вид
                                      x 2k
                             ( −1) k         .
                                     (2 k )!

   Полагая n = 2 m +1, m ∈ N ∪ {0}, получаем соотношение

                x2   x4   x6                  x2m
    cos x = 1 −    +    −    + ... + ( −1) m
                                                     + o( x 2 m +1 ) , x → 0,
                2!   4!   6!                 (2 m )!

которое можно записать в виде

                              m
                                    x2k
                   cos x = ∑ ( −1)   k
                                           + o( x 2 m +1 ) , x → 0.
                           k =0    (2 k )!

   4) Пусть f ( x ) = (1 + x ) m , m ≠0, m ∉ N . Тогда f (0) =1, f ( k ) ( x ) =
=m ( m −1)...( m −k +1) (1 + x ) m −k , f ( k ) (0) =m ( m −1)...( m −k +1) , k ∈ N .
Поэтому, фиксируя произвольное n ∈ N , получаем разложение

                        m ( m −1) 2       m ( m −1)...( m −n +1) n
(1 + x ) m =1 +m x +             x +... +                       x +o( x n ) ,
                            2!                      n!

                                         x → 0.

                                                                        ( k −1)!
   5) Пусть f ( x ) = ln (1 + x ). Тогда f (0) =0, f ( k ) ( x ) = ( −1) k −1      ,
                                                                        (1 + x ) k
 f ( k ) (0) =( −1)k −1 ( k −1)! , k ∈ N . Фиксируя произвольное n ∈ N , получаем
разложение

                             x2   x3   x4                    xn
         ln (1 + x ) = x −      +    −    + ... + ( −1) n −1    + o( x n ) ,
                             2    3    4                     n

                                         x → 0.

   Приведём пример использования полученных разложений.

                                 sin x − x                        x3
   Пример. Вычислить предел lim            . Поскольку sin x = x − +
                            x→ 0     x3                           3!

Страницы