Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

53
4
(),
ox
+
то
3
3
4
4
333
000
0
()
()
sin1
3!
6
limlimlimlim(
6
xxx
x
x
x
xoxx
ox
xx
xxx
→→→
→
−+−
−+
−
===−+
4
3
()1
).
ox
x
+=−
Приближённые формулы
Положим , для простоты, в формуле (6.5)
0
x
=
и запишем её в виде
()(1)
21
(0)(0)(0)()
()(0)...,
1!2!!(1)!
nn
nn
ffffx
fxfxxxx
nn
θ
+
+
′′′
=+++++
+
(6.13)
где
01.
θ
<<
Если в формуле (6.13) отбросить дополнительный член, то
получим приближённое равенство
()
2
(0)(0)(0)
()(0)...,
1!2!!
n
n
fff
fxfxxx
n
′′′
≈++++ т.е.
()().
n
fxPx
≈
В некоторых случаях , фиксируя промежуток
,
X
за счёт выбора
достаточно большого
n
удаётся сделать разность
()()
n
fxPx
−
сколь
угодно малой по абсолютной величине сразу для всех точек этого
промежутка. Перейдём к конкретным примерам .
1) Пусть
().
x
fxe
= Тогда имеет место равенство
2
1...(),,
2!!
n
x
n
xx
exrxnN
n
=+++++∈
где
1
(),01.
(1)!
x
n
n
e
rxx
n
θ
θ
+
=<<
+
Для дополнительного члена
()
n
rx
справедлива оценка
||||
11
|()|||||.
(1)!(1)!
xx
nn
n
ee
rxxx
nn
θ
++
≤≤
++
Фиксируем произвольное число
0.
H
>
Тогда для любого
[;]
xHH
∈−
будет верно неравенство 
                                                    53
 + o ( x 4 ), то
                         x3                       x3
                      x − +o ( x 4 ) − x        −    + o( x 4 )
      sin x − x          3!                                             1
  lim       3
                =lim          3
                                         = lim 6 3              = lim (− +
 x→ 0     x      x→ 0       x              x→ 0      x            x→ 0  6

    o( x 4 )     1
+       3
             ) =− .
      x          6

                                   Приближённые формулы


    Положим, для простоты, в формуле (6.5) x0 =0, и запишем её в виде

                    f ′(0)    f ′′(0) 2       f ( n ) (0) n  f ( n +1) (θ x ) n +1
  f ( x ) = f (0) +        x+        x +... +            x +                 x , (6.13)
                      1!        2!               n!           ( n +1)!

где 0 <θ <1. Если в формуле (6.13) отбросить дополнительный член, то
получим приближённое равенство

                       f ′(0)     f ′′(0) 2       f ( n ) (0) n
   f ( x ) ≈ f (0) +          x +        x +... +            x , т.е. f ( x ) ≈ Pn ( x ).
                         1!         2!               n!

   В некоторых случаях, фиксируя промежуток X , за счёт выбора
достаточно большого n удаётся сделать разность f ( x ) − Pn ( x ) сколь
угодно малой по абсолютной величине сразу для всех точек этого
промежутка. Перейдём к конкретным примерам.

    1) Пусть f ( x ) =e x . Тогда имеет место равенство
                                     x2         xn
                   e =1 + x +
                       x
                                        + ... +    + rn ( x ) , n ∈ N ,
                                     2!         n!
                  eθ x
где rn ( x ) =          x n +1 , 0 <θ <1. Для дополнительного члена rn ( x )
               ( n +1)!
справедлива оценка

                                            e|θ x |    n +1    e|x|
                           | rn ( x )| ≤            |x| ≤            | x |n +1 .
                                         ( n +1)!           ( n +1)!

  Фиксируем произвольное число H >0. Тогда для любого x ∈[ −H ; H ]
будет верно неравенство

Страницы