Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 55 стр.

                                                       55
  3) Пусть f ( x ) =cos x . Тогда имеет место равенство

                  x2   x4   x6                  x 2m
      cos x = 1 −    +    −    + ... + ( −1) m
                                                      + r2 m +1 ( x) , m ∈ N ,
                  2!   4!   6!                 (2 m)!
где
                                                           π
                         ( 2 m +2)               cos (θ x + (2m +2))
                        f     (θ x ) 2 m +2                2
      r2 m +1 ( x ) =               x          =                     x 2 m +2 , 0 <θ <1.
                         (2m + 2)!                      (2m + 2)!

Очевидно, что
                                                           | x |2 m +2
                                       | r2 m+1 ( x ) | ≤              .
                                                          (2m + 2)!

Поэтому для любого x                          из отрезка вида              [ −H ; H ], H >0,   будет
выполняться неравенство
                                                            H 2 m +2
                                       | r2 m+1 ( x ) | ≤            .
                                                          (2m + 2)!

Рассуждая так же, как и при рассмотрении функции f ( x ) =sin x , получим,
что для любого ε >0 найдётся m ∈ N такое, что сразу для всех x из
промежутка [ −H ; H ] будет верно неравенство

                                              | r2 m +1 ( x ) | <ε .


       § 7. Исследование функций. Критерий монотонности функции.
       Локальные экстремумы функции. Нахождение наименьшего и
                      наибольшего значений функции


  Справедливо следующее                         утверждение            (критерий     монотонности
дифференцируемой функции).

   Теорема. Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке
 X и внутри него (т.е. в каждой его внутренней точке) имеет конечную
производную f ′( x ). Для того чтобы функция f ( x ) была возрастающей
(убывающей) на промежутке X , необходимо и достаточно, чтобы внутри
 X выполнялось условие f ′( x ) ≥ 0 ( f ′( x ) ≤0).

                                              Доказательство