Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 56 стр.

                                            56
   Необходимость. Пусть функция f ( x ) возрастает на промежутке X .
Покажем, что внутри X выполняется условие f ′( x ) ≥ 0. Фиксируем
произвольную внутреннюю точку x0 промежутка X и придадим
аргументу функции в этой точке произвольное достаточно малое
приращение        ∆ x >0. Тогда           будет     выполняться неравенство
 ∆ y = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) ≥
 ≥0, а потому и неравенство
                                       ∆y
                                            ≥ 0.
                                       ∆x
   Переходя в последнем неравенстве к пределу при ∆ x → +0, получим,
что
                                           ∆y
                                   lim          ≥0,
                                  ∆ x → +0 ∆ x



т.е. что f +′( x0 ) ≥ 0, и, следовательно, f ′( x0 ) = f +′ ( x0 ) ≥0. Таким образом,
в любой внутренней точке промежутка X выполняется условие
 f ′( x ) ≥0 .
     Случай убывающей функции рассматривается аналогично.

   Достаточность. Пусть в каждой внутренней точке промежутка X
выполняется условие f ′( x ) ≥ 0. Покажем, что функция f ( x ) возрастает
на промежутке X . Пусть x1 и x2 − произвольные точки промежутка X ,
такие, что x1 < x2 . Применив к функции f ( x ), рассматриваемой на
отрезке [ x1 ; x2 ], теорему Лагранжа, получим, что на интервале ( x1 ; x2 )
найдётся точка ξ такая, что будет выполняться равенство

                        f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ ) ( x2 − x1 ).             (7.1)

Поскольку f ′(ξ ) ≥ 0, x2 − x1 > 0, то из равенства (7.1) следует, что
 f ( x2 ) − f ( x1 ) ≥0, т.е. что f ( x2 ) ≥ f ( x1 ).
     Аналогично доказывается, что если внутри промежутка X выполняется
неравенство f ′( x ) ≤0, то функция f ( x ) убывает на этом промежутке.
     Теорема доказана.

     Замечание. Отметим, что если внутри X выполняется неравенство
 f ′( x ) >0, то функция f ( x ) будет строго возрастающей на промежутке
X . Действительно, в этом случае правая часть равенства (7.1)
положительна и потому имеет место неравенство f ( x2 ) − f ( x1 ) >0, так
что f ( x2 ) > f ( x1 ). Очевидно, что если внутри X выполняется условие
 f ′( x ) < 0, то функция f ( x ) будет строго убывающей на промежутке X .