Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 58 стр.

                                           58
нулю, однако данная точка не является точкой экстремума
рассматриваемой функции. Непрерывная функция, задаваемая условиями

                                        � 2 x , x ≤0,
                              f ( x) = �
                                         � 3 x , x >0,

производной в точке x0 =0 не имеет, и эта точка не является точкой
экстремума данной функции.

   Определение. Если функция определена в некоторой окрестности
точки x0 и в этой точке производная функции либо существует и равна
нулю, либо не существует, то точка x0 называется критической точкой
этой функции.

   Из доказанной теоремы следует, что все точки экстремума функции
содержатся во множестве её критических точек.

   Справедливо следующее предложение.

  Теорема. Пусть функция f ( x ) непрерывна в некоторой окрестности
                                                                         0
U ( x0 ) точки x0 , дифференцируема в проколотой окрестности U ( x0 ) и с
каждой стороны от точки x0 в этой окрестности её производная сохраняет
                                                0
постоянный знак. Тогда, если при x ∈U ( x0 ) :

  1) f ′( x ) >0, то f ( x ) строго возрастает на множестве U ( x0 ) ;

  2) f ′( x ) <0, то f ( x ) строго убывает на множестве U ( x0 ) ;

   3) f ′( x ) >0 при x < x0 и f ′( x ) <0 при x > x0 (производная меняет
знак с “ +” на “ −” при переходе через точку x0 ), то точка x0 является
точкой строгого максимума;

   4) f ′( x ) <0 при x < x0 и f ′( x ) >0 при x > x0 (производная меняет
знак с “ −” на “ + ” при переходе через точку x0 ), то точка x0 является
точкой строгого минимума.

                                Доказательство

  1) Пусть U ( x0 ) =( x0 −ε ; x0 + ε ) , ε >0. Из замечания к критерию
монотонности дифференцируемой функции следует, что функция f ( x )