Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 60 стр.

                                                60
   Доказательство.         Докажем лишь первое утверждение – второе
                                                   f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )
доказывается аналогично. Пусть f ′( x0 ) = lim                              > 0. В
                                            ∆x→ 0           ∆x
силу свойств пределов функций найдётся число δ >0 такое, что для
любого         ∆x, 0 < |∆x | <δ,        будет     выполняться       неравенство
  f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )
                           > 0. Из данного неравенства следует, что если
           ∆x
∆ x >0, то f ( x0 +∆ x ) > f ( x0 ); если же ∆ x <0, то f ( x0 +∆ x ) < f ( x0 ).
Таким образом, точка x0 есть точка возрастания функции f ( x ).

   Предложение доказано.

   Замечание. Заметим, что условие f ′( x0 ) >0 ( f ′( x0 ) < 0) является лишь
достаточным условием для того, чтобы точка x0 являлась точкой
возрастания (убывания) функции f ( x ). Действительно, точка x0 = 0
является точкой возрастания функции f ( x ) = x 3 , но при этом f ′( x0 ) =0.

   Справедливо следующее утверждение.

    Теорема. Пусть функция y = f ( x ) n раз дифференцируема в точке
x0 , n ≥ 2 , и пусть выполняются условия f ( k ) ( x0 ) = 0, k = 1, ... , n −1,
f ( n ) ( x0 ) ≠0. Тогда, если n =2m , m ∈ N , т.е. n − чётное число, то функция
f ( x ) имеет в точке x0 строгий экстремум, причём строгий максимум, если
 f (2 m ) ( x0 ) <0, и строгий минимум, если f (2 m ) ( x0 ) >0.                        Если же
n =2m +1, m ∈ N , т.е. n − нечётное число, то функция f ( x )                          в точке x0
экстремума не имеет. Если при этом f ( 2 m +1) ( x0 ) >0, то x0                        есть точка
возрастания функции f ( x ), если же f ( 2 m +1) ( x0 ) <0, то x0                      есть точка
убывания функции f ( x ).

   Доказательство. Из условий теоремы следует, что существует число
η >0 такое, что для любого x , 0 <| x − x0 | < η , приращение функции в
точке x0 может быть записано в виде

                     f ( n ) ( x0 )                                f ( n ) ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 ) =                ( x − x0 ) + o( ( x − x0 ) ) =
                                              n               n
                                                                                  ( x − x0 ) n +
                          n!                                            n!
                                                       � f ( n ) ( x0 )           �
                  +α ( x ) ( x − x0 ) = ( x − x0 ) �
                                      n                n
                                                                        + α ( x� ) ,        (7.2)
                                                     �        n!                �