Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 59 стр.

                                           59
строго возрастает на промежутках ( x0 −ε ; x0 ] и [ x0 ; x0 +ε ). Поэтому, если
x0 −ε < x1 < x2 ≤ x0 , то f ( x1 ) < f ( x2 ). Аналогично, если x0 ≤ x1 < x2 <
 < x0 +ε , то f ( x1 ) < f ( x2 ). Пусть теперь x0 − ε < x1 < x0 < x2 < x0 +ε .
Тогда f ( x1 ) < f ( x0 ) < f ( x2 ), и потому f ( x1 ) < f ( x2 ).

   2) Этот случай рассматривается аналогично случаю 1).

   3) Фиксируем произвольную точку x1 ∈U ( x0 ) , x1 ≠ x0 , и к функции
f ( x ), рассматриваемой на отрезке с концами x0 и x1 , применим теорему
Лагранжа. В силу этой теоремы на интервале с граничными точками x0 и
x1 найдётся точка ξ такая, что будет верно равенство

                        f ( x1 ) − f ( x0 ) = f ′(ξ ) ( x1 − x0 ).

   Возможны два случая.

    1) Если x1 > x0 , то ξ ∈ ( x0 ; x1 ) , f ′(ξ ) <0, x1 − x0 >0     и потому
f ( x1 ) − f ( x0 ) < 0, т. е. f ( x1 ) < f ( x0 ).

    2) Если x1 < x0 , то ξ ∈ ( x1 ; x0 ) , f ′(ξ ) >0, x1 − x0 <0     и потому
f ( x1 ) − f ( x0 ) <0, т. е. f ( x1 ) < f ( x0 ).

   Таким образом, x0 − точка строгого максимума функции f ( x ).

   4) Этот случай рассматривается аналогично случаю 3).


   Теорема доказана.

   Определение. Точка x0 называется точкой возрастания функции f ( x ),
если существует такая окрестность U ( x0 ) точки x0 , что для всех
x ∈U ( x0 ) при x < x0 выполняется неравенство f ( x ) < f ( x0 ), а при
x > x0 − неравенство f ( x ) > f ( x0 ). Если же при x < x0 выполняется
неравенство f ( x ) > f ( x0 ) , а при x > x0 − неравенство f ( x ) < f ( x0 ), то
точка x0 называется точкой убывания функции f ( x ).

     Предложение. Если выполнено условие f ′( x0 ) >0, то точка x0
является точкой возрастания функции f ( x ) . Если же выполнено условие
 f ′( x0 ) <0, то точка x0 является точкой убывания функции f ( x ).