Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 57 стр.

                                          57
Заметим,          что      выполнение    всюду   внутри  X     неравенства
 f ′( x ) > 0 ( f ′( x ) < 0) является лишь достаточным условием строгого
возрастания (убывания) функции f ( x ) на промежутке X . Действительно,
функция y = x 3 строго возрастает на всей числовой прямой, однако
y′(0) =0.
                 Локальные экстремумы функций

     Определение. Пусть функция f ( x ) определена в некоторой
окрестности точки x0 ∈ R . Точка x0 называется точкой локального
максимума (минимума) функции f ( x ), если существует такая окрестность
U ( x0 ) этой точки, что для всех x ∈U ( x0 ) выполняется неравенство
 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )).
     Если же существует окрестность U ( x0 ) точки x0 такая, что для всех
     0
x ∈ U ( x0 ) выполняется неравенство f ( x ) < f ( x0 ) ( f ( x ) > f ( x0 )), то точка
x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума)
функции f ( x ).

   Точки локального максимума и минимума функции называются её
точками локального экстремума, а точки строгого локального максимума и
минимума – точками строгого локального экстремума.

   В дальнейшем для краткости слово “локальный” будем опускать.

    Теорема. Пусть функция f ( x ) задана в некоторой окрестности точки
x0 . Если точка x0 является точкой экстремума функции f ( x ), то её
производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

   Доказательство. Производная функции f ( x ) в точке x0 либо
существует, либо нет. Если производная в точке x0 существует, то из
теоремы Ферма следует, что она равна нулю.
   Теорема доказана.

    Замечание 1. Оба случая, указанные в теореме, реализуются.
Действительно, точка x0 = 0 является точкой минимума функции
f ( x ) =| x | и в этой точке у функции производной не существует. Та же
точка является точкой минимума и функции f ( x ) = x 2 . Данная функция
имеет в точке x0 =0 производную и эта производная равна нулю.

  Замечание 2. Теорема даёт лишь необходимое условие экстремума.
Например, функция f ( x ) = x 3 имеет в точке x0 =0 производную, равную