Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 61 стр.

                                                61
              o( ( x − x0 ) n )
где α ( x ) =                   , так что выполняется условие
               ( x − x0 ) n
                                       lim α ( x ) =0.                                       (7.3)
                                       x → x0

Фиксируем такое число η . Из соотношения (7.3) следует, что найдётся
                                                                       0
число δ, 0 <δ ≤η такое, что для любого x ∈U ( x0 ; δ ) , т.е. для любого
x , 0 <| x − x0 | <δ , будет выполняться неравенство

                                              1 | f ( n ) ( x0 ) |
                                 | α ( x) | ≤                      .
                                              2        n!
                             0
Поэтому для всех x ∈U ( x0 ; δ ) знак выражения в фигурных скобках в
формуле (7.2) будет совпадать со знаком n − ой производной f ( n ) ( x0 ).
Фиксируем такое δ .
   Пусть n = 2m , m ∈ N . Тогда для любого x , 0 <| x − x0 | <η ,
справедливо равенство

                                                         � f (2 m ) ( x0 )         �
               f ( x ) − f ( x0 ) = ( x − x0 ) 2 m �                       + α ( x� ) .      (7.4)
                                                          � (2m )!                   �

                                                             0
   Если f (2 m ) ( x0 ) <0, то для любого x ∈U ( x0 ; δ ) выражение в фигурных
скобках в формуле (7.4) отрицательно, ( x − x0 )2 m >0, и потому для
                0
любого x ∈U ( x0 ; δ ) выполняется неравенство f ( x ) − f ( x0 ) < 0, т.е.
неравенство f ( x ) < f ( x0 ). Поэтому точка x0 есть точка строгого
максимума функции f ( x ).
                                                                           0
  Если же   f (2 m ) ( x0 ) >0, то для любого x ∈U ( x0 ; δ ) выражение в
фигурных скобках в формуле (7.4) положительно, ( x − x0 )2 m >0, и потому
                    0
для любого x ∈U ( x0 ; δ ) выполняется неравенство f ( x ) − f ( x0 ) > 0, т.е.
неравенство f ( x ) > f ( x0 ). Поэтому точка x0 есть точка строгого
минимума функции f ( x ).
   Пусть теперь         n = 2m +1, m ∈ N .   Тогда для любого               x,
 0 <| x − x0 | <η , имеет место равенство

                                                2 m +1   � f ( 2 m +1) ( x0 )        �
             f ( x ) − f ( x0 ) = ( x − x0 )               �                  + α ( x� ) .   (7.5)
                                                          � (2m +1)!                   �