Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 63 стр.

                                                63
где ξ1 , ... , ξl − точки локального максимума функции f ( x ).
   С помощью аналогичного рассуждения получаем, что

               min f ( x ) = min ( f (a ), f (b) , f (η1 ), ... , f (ηm ) ) ,
              x∈[ a ; b ]



где η1 , ... , ηm − точки локального минимума функции f ( x ).
  Если же хотят избежать исследования критических точек, то поступают
иначе. Пусть x1 , ... , xn − всевозможные решения уравнения f ′( x ) = 0,
принадлежащие интервалу ( a ; b). Тогда, очевидно,


              max f ( x ) = max ( f ( a ), f ( b) , f ( x1 ) , ... , f ( xn ) ) ,
              x∈[ a ; b ]



                min f ( x ) = min ( f ( a ) , f ( b) , f ( x1 ) , ... , f ( xn ) ).
               x ∈[ a ; b ]




    § 8. Исследование функций. Выпуклые и вогнутые функции.
 Необходимые и достаточные условия выпуклости функции. Точки
перегиба и их нахождение. Асимптоты графика функции. Построение
                        графиков функций



   Определение. Функция f ( x ), определённая и непрерывная в
промежутке X , называется выпуклой (выпуклой вниз), если для любых
точек x1 и x2 из X , x1 ≠ x2 выполняется неравенство

                         f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) ,             (8.1)

каковы бы ни были положительные числа λ1 и λ2 , дающие в сумме
единицу (λ1 + λ2 = 1). Функция называется вогнутой (выпуклой вверх),
если вместо неравенства (8.1) выполняется неравенство

                        f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≥ λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ).               (8.2)

   Очевидно, что если функция f ( x ) выпукла (вогнута), то функция
− f ( x ) − вогнута (выпукла). Поэтому достаточно изучить свойства только
выпуклых функций.