Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 65 стр.

                                              65
 f ( x ) ≤ ϕ ( x ) для ∀ x ∈( x1 ; x2 ), где x1 и x2 − произвольные точки
промежутка X , x1 < x2 .
     Таким образом, любая дуга графика выпуклой функции лежит под
соответствующей хордой или на хорде, а у вогнутой функции – над
соответствующей хордой или на хорде (см. рис. 8.1).



    y

                                              y = f ( x)




                                                     N ( x2 ; f ( x2 ))
                   y =ϕ ( x )




                         M ( x1 ; f ( x1 ))
                                                                          x

                    x1                          x2

                                         Рис. 8.1

   Любая линейная функция является одновременно и выпуклой, и
вогнутой.
   График выпуклой или вогнутой функции называется, соответственно,
выпуклой или вогнутой кривой.
   Заметим ещё, что если для любого отрезка [ x1 ; x2 ], x1 < x2 ,
содержащегося в X , соотношение (8.1) выполняется со знаком
неравенства, то функцию f ( x ) называют строго выпуклой.

  Аналогично устанавливается понятие строго вогнутой функции.

        Необходимые и достаточные условия выпуклости функции

   Условие выпуклости (8.1), как было показано, может быть записано в
эквивалентной форме