Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 67 стр.

                                              67
Заметим, что условие (8.5) эквивалентно условию (8.3), а потому и
условию (8.1). Переходя в неравенстве (8.5) к пределу при x → x1 ,
получим, что
                                  f ( x2 ) − f ( x1 )
                      f ′( x1 ) ≤                     .       (8.6)
                                       x2 − x1

Переходя в том же неравенстве к пределу при                               x → x2 , получим
соотношение
                   f ( x2 ) − f ( x1 )
                                       ≤ f ′( x2 ).                                         (8.7)
                        x2 − x1

Из неравенств (8.6) и (8.7) следует, что                     f ′( x1 ) ≤ f ′( x2 ) , т.е.   f ′( x )
возрастает на промежутке X .

     Достаточность. Пусть f ′( x ) возрастает на промежутке X . Фиксируем
произвольные точки x1 и x2 из X , x1 < x2 , и возьмём произвольную
точку x ∈ ( x1 ; x2 ). В силу теоремы Лагранжа на интервалах ( x1 ; x ) и
( x ; x2 ) найдутся, соответственно, точки ξ и η такие, что будут
выполняться равенства

              f ( x ) − f ( x1 )                   f ( x2 ) − f ( x )
                                 = f ′(ξ ),                           = f ′(η ).
                   x − x1                               x2 − x

Так как f ′( x ) возрастает и ξ < η , то f ′(ξ ) ≤ f ′(η ) , и потому
выполняется условие
                     f ( x ) − f ( x1 )   f ( x2 ) − f ( x )
                                        ≤                    ,
                          x − x1               x2 − x

                                 ∀ x , x ∈ ( x1 ; x2 ),

которое эквивалентно условию выпуклости.
   Теорема доказана.

     Замечание. Заметим, что из доказательства теоремы следует, что если
 f ′( x ) строго возрастает на промежутке X , то функция f ( x ) строго
выпукла на этом промежутке.

   Теорема. Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна вместе со
своей производной f ′( x ) в промежутке X и имеет внутри него конечную
производную f ′′( x ). Для выпуклости функции f ( x ) в промежутке X