Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 68 стр.

                                     68
необходимо и достаточно, чтобы внутри X выполнялось неравенство
 f ′′( x) ≥ 0.
                          Доказательство

   Необходимость. Пусть f ( x ) выпукла в промежутке X . Тогда f ′( x )
возрастает в X и в силу критерия монотонности дифференцируемой
функции для производной функции f ′( x ) , т.е. для функции f ′′( x ) , всюду
внутри X выполняется неравенство f ′′( x ) ≥ 0.

   Достаточность. Пусть в каждой внутренней точке x промежутка X
выполняется неравенство f ′′( x ) ≥0. Тогда в силу критерия монотонности
дифференцируемой функции функция f ′( x ) возрастает в промежутке X и
потому функция f ( x ) выпукла в X .
   Теорема доказана.

    Для вогнутости     функции     аналогично    устанавливается    условие
f ′′( x ) ≤ 0.

   Выполнение же условия f ′′( x) >0 ( f ′′( x ) <0) всюду внутри         X
заведомо обеспечивает строгую выпуклость (вогнутость) функции.

   Пример 1. Пусть f ( x ) =a x . Тогда f ′′( x ) =a x (ln a )2 >0 для любого
x ∈ R . Поэтому функция f ( x ) =a x строго выпукла на всей числовой
прямой.
                                                       1
   Пример 2. Пусть f ( x ) = ln x . Тогда f ′′( x ) =− 2 <0 для любого x >0,
                                                      x
и потому функция f ( x ) = ln x строго вогнута на множестве x > 0.

  Справедливо следующее утверждение.

   Теорема. Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна в промежутке
X и имеет в каждой его точке конечную производную f ′( x ). Для
выпуклости функции f ( x ) необходимо и достаточно, чтобы её график
всеми точками лежал над любой своей касательной или на ней.
   Данное утверждение примем без доказательства.

                    Точки перегиба и их нахождение

   Определение. Точку M ( x0 ; f ( x0 )) кривой y = f ( x ) называют её
точкой перегиба, если она отделяет участок кривой, где функция f ( x )
выпукла, от участка, где эта функция вогнута (см. рис. 8.2).