Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 70 стр.

                                                     70
искать среди корней уравнения f ′′( x ) =0, и каждый найденный корень
подвергать проверке.
   Предположим, что существует δ >0 такое, что на каждом из
промежутков [ x0 −δ ; x0 ), ( x0 ; x0 +δ ] вторая производная сохраняет
постоянный знак, а в самой точке x0 обращается в ноль. Тогда, если f ′′( x )
меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 − абсцисса точки
перегиба, если же f ′′( x ) не меняет знака, то перегиба в точке с данной
абсциссой нет.

   Точки перегиба можно находить и с помощью высших производных.

   Справедливо следующее

   Предложение. Пусть f ′′( x0 ) =0. Если первая из производных выше
второго порядка, отличных от нуля, имеет нечётный порядок, то x0 −
абсцисса точки перегиба, если же она имеет чётный порядок, то перегиба в
точке с данной абсциссой нет.

  Доказательство. Пусть f ′′( x0 ) =... = f (2 m ) ( x0 ) =0, f (2 m +1) ( x0 ) ≠0, m ∈
∈ N . Разлагая функцию f ′′( x ) в окрестности точки x0 по формуле
Тейлора и учитывая, что f ′′( x0 ) =0 , получим соотношение

                            f ( 2 m +1) ( x0 )
                f ′′( x ) =                    ( x − x0 )2 m −1 + o( ( x − x0 ) 2 m −1 ) =
                            (2 m −1)!
                                           2 m −1   � f (2 m +1) ( x0 )         �
                            = ( x − x0 )             �                  + α ( x� ) ,         (8.8)
                                                       � (2 m −1)!                �

            o( ( x − x0 ) 2 m −1 )
где α ( x ) =                      → 0 при x → x0 . Для всех x , достаточно
             ( x − x0 ) 2 m −1
близких к x0 , x ≠ x0 , выражение в фигурных скобках в формуле (8.8)
сохраняет постоянный знак (см. рассуждение на с. 61). Поэтому при
переходе через точку x0 вторая производная меняет знак, так что x0 −
абсцисса точки перегиба.
   Пусть теперь выполняются условия f ′′( x0 ) = ... = f (2 m +1) ( x0 ) = 0,
 f (2 m +2) ( x0 ) ≠0, m ∈ N . Повторяя предыдущее рассуждение, получаем
соотношение
                                 f (2 m +2) ( x0 )
                     f ′′( x ) =                   ( x − x0 )2 m + o( ( x − x0 ) 2 m ) =
                                    (2 m )!