Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 71 стр.

                                            71
                                          � f (2 m +2) ( x0 )         �
                       =( x − x0 )   2m
                                           �                  + α ( x� ) ,   (8.9)
                                             � (2 m )!                  �

              o( ( x − x0 ) 2 m )
где α ( x ) =                     → 0 при x → x0 . Поскольку в достаточно малой
               ( x − x0 ) 2 m
проколотой окрестности точки x0 выражение в фигурных скобках в
формуле (8.9) сохраняет знак, то вторая производная не меняет знака при
переходе через точку x0 и потому в точке M ( x0 ; f ( x0 )) перегиба нет.

   Утверждение доказано.

   Отметим ещё, что в точке перегиба график функции переходит с одной
стороны от касательной на другую (предполагается, что касательная в этой
точке существует).

   Данное утверждение примем без доказательства.


    Асимптоты графика функции. Построение графиков функций


   Определение. Говорят, что прямая x =a является вертикальной
асимптотой графика функции y = f ( x ), если хотя бы один из пределов

                         lim       f ( x ) или      lim       f ( x)
                        x → a +0                   x → a −0

равен +∞ или −∞.

                           1
  Пример 4. Пусть f ( x ) = , D( f ) = R \{0}. Поскольку f ( −0) =−∞, то
                           x
прямая x =0 является вертикальной асимптотой графика рассматриваемой
функции.

   Определение. Говорят, что прямая y = k x + b является наклонной
асимптотой графика функции y = f ( x ) при x → +∞, если f ( x )
представима в виде
                        f ( x ) =k x +b +α ( x ),            (8.10)

где α ( x ) есть бесконечно малая при x → +∞ функция.

   Аналогично определяется наклонная асимптота и при x → −∞.