Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 73 стр.

                                         73
                                                         2 x 2 +3 x +5
   Пример 5. Найдём асимптоты графика функции f ( x ) =                ,
                                                               x +1
D ( f ) = R \{−1}. Поскольку lim f ( x ) =+∞, то график данной функции
                             x → −1+0

имеет вертикальную асимптоту x =−1. В каждой точке своего множества
определения функция f ( x ) является непрерывной и потому других
вертикальных асимптот график функции не имеет. Поскольку

           f ( x)         2 x 2 +3 x +5            � 2 x 2 +3 x +5     �
     lim          = lim                 =2, lim �                  − 2 �x =
    x → +∞   x     x → +∞      x +x
                                2           x → +∞
                                                    �      x +1          �

                                         x +5
                             = lim            = 1,
                                x → +∞   x +1

то график рассматриваемой функции при x → +∞ имеет наклонную
асимптоту y = 2 x +1. Очевидно, прямая y = 2 x +1 является наклонной
асимптотой для графика функции и при x → −∞.

                     Построение графиков функций


  Приведём примерную схему построения графиков функций.

  Рекомендуется

  1. Найти множество определения функции, область непрерывности и
     точки разрыва.
  2. Найти асимптоты графика функции.
  3. Найти точки пересечения графика с осями координат и
     приблизительно вычертить график функции.
  4. Вычислить первую, а если нужно, то и вторую производную
     функции. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо
     не существуют, либо равны нулю.
  5. Составить таблицу изменения знака первой и второй производных.
     Определить промежутки возрастания и убывания, выпуклости и
     вогнутости функции, найти точки экстремума и точки перегиба,
     вычислить значения функции в этих точках.
  6. Окончательно вычертить график функции.

  При построении графиков следует использовать такие свойства
функций, как чётность, нечётность, периодичность.