Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

72
Справедливо следующее утверждение .
Теорема. Для того чтобы график функции
()
yfx
=
имел при
x
→+∞
наклонную асимптоту
,
ykxb
необходимо и достаточно, чтобы
существовали два конечных предела
()
lim
x
fx
k
x
→+∞
=
и
lim(()).
x
fxkxb
→+∞
−=
(8.11)
Доказательство.
Необходимость. Пусть график функции
()
yfx
=
имеет наклонную
асимптоту
ykxb
=+
при
.
x
→+∞
Тогда функция
()
fx
представима в
виде
()(),
fxkxbx
α
=++
где
()0
x
α
→
при
.
x
→+∞
Поэтому
()()
limlim(),lim(())lim(())
xxxx
fxbx
kkfxkxbx
xxx
α
α
→+∞→+∞→+∞→+∞
=++=−=+=
.
b
=
Достаточность. Пусть выполняются условия
()
lim,lim(()
xx
fx
kfx
x
→+∞→+∞
=−
),,.
kxbkRbR
−=∈∈
Введём в рассмотрение функцию
()().
def
xfxkxb
α
=−−
Очевидно, что
lim()0.
x
x
α
→+∞
=
Поэтому функция
()
fx
представима в виде
()(),
fxkxbx
α
=++
где
()
x
α
есть бесконечно малая при
x
→+∞
функция . А это и означает ,
что график функции
()
yfx
=
имеет наклонную асимптоту
ykxb
=+
при
.
x
→+∞
Теорема доказана.
Аналогичная теорема справедлива и для наклонной асимптоты при
.
x
→−∞
                                             72
   Справедливо следующее утверждение.

   Теорема. Для того чтобы график функции y = f ( x ) имел при x → +∞
наклонную асимптоту y =k x +b , необходимо и достаточно, чтобы
существовали два конечных предела

                             f ( x)
                     lim            = k и lim ( f ( x ) −k x ) =b .          (8.11)
                    x → +∞     x          x → +∞



                                    Доказательство.

   Необходимость. Пусть график функции y = f ( x ) имеет наклонную
асимптоту y = k x + b при x → +∞. Тогда функция f ( x ) представима в
виде

                                 f ( x ) = k x + b +α ( x ),

где α ( x ) → 0 при x → +∞. Поэтому

         f ( x)           b α ( x)
lim             = lim (k + +       ) =k , lim ( f ( x ) −k x ) = lim (b +α ( x )) =
x → +∞     x     x → +∞   x   x           x → +∞                x → +∞

=b .
                                                         f ( x)
   Достаточность. Пусть выполняются условия lim                 =k , lim ( f ( x ) −
                                                  x → +∞   x        x → +∞

− k x ) =b , k ∈ R , b ∈ R . Введём в рассмотрение функцию

                                      de f
                               α ( x ) = f ( x ) − k x −b .

Очевидно, что lim α ( x ) =0. Поэтому функция f ( x ) представима в виде
                  x → +∞


                                 f ( x ) = k x + b +α ( x ),

где α ( x ) есть бесконечно малая при x → +∞ функция. А это и означает,
что график функции y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y =k x +b при
x → +∞.

   Теорема доказана.

  Аналогичная теорема справедлива и для наклонной асимптоты при
x → −∞.

Страницы