Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 69 стр.

                                         69




          y
                                                 y = f ( x)



                                    M ( x0 ; f ( x0 ))




                                                                     x


                               x0
                                       Рис. 8.2


     Предположим, что в некоторой окрестности U ( x0 ) точки x0 функция
f ( x ) имеет конечную производную, и пусть x0 − абсцисса точки
перегиба. Тогда найдётся такое δ >0, что на промежутке [ x0 −δ ; x0 ]
 f ′( x ) будет возрастать, а на промежутке [ x0 ; x0 +δ ] f ′( x ) будет убывать,
либо наоборот, на промежутке [ x0 −δ ; x0 ] f ′( x ) будет убывать, а на
промежутке [ x0 ; x0 +δ ] − возрастать.
     В первом случае x0 − точка максимума для f ′( x ), во втором случае
x0 − точка минимума для f ′( x ). Поэтому, если предположить, что вторая
производная функции f ( x ) существует хотя бы в одной точке x0 , то с
необходимостью выполняется условие f ′′( x0 ) =0.

  Отметим, что данное условие является лишь необходимым условием
существования точки перегиба.

   Пример 3. Пусть f ( x ) = x 4 . Тогда f ′′( x) =12 x 2 ≥0 для ∀ x ∈ R , так
что функция f ( x ) выпукла на R . Выполняется условие f ′′(0) =0, но
точка x0 = 0 абсциссой точки перегиба не является.

   Таким образом, если вторая производная существует везде внутри
рассматриваемого промежутка X , то абсциссы точек перегиба следует