Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

66
21
12
2121
()()(),
xxxx
fxfxfx
xxxx
−−
≤+
−−
12
,
xxx
<<
где
x
и
2
x
−
произвольные точки промежутка
12
,,
Xxx
<
которой можно придать вид
211212
()()()()()()0.
xxfxxxfxxxfx
−+−+−≥
(8.4)
В случае строгой выпуклости знак
≥
в последней формуле должен быть
заменён на знак
.
>
Справедливо следующее утверждение .
Теорема. Пусть функция
()
fx
определена и непрерывна в промежутке
X
и имеет в каждой его точке конечную производную
().
fx
′
Для того
чтобы
()
fx
была выпуклой в
,
X
необходимо и достаточно, чтобы её
производная
()
fx
′
возрастала в этом промежутке.
Доказательство
Необходимость. Пусть
()
fx
выпукла в промежутке
.
X
Фиксируем
произвольные точки
x
и
2
x
из промежутка
12
,,
Xxx
<
и пусть
12
(;).
xxx
∈
Тогда выполняется соотношение (8.4), которое можно
записать в виде
211212
()()()()()()()()0,
xxfxxxfxxxfxxxfx
−+−+−+−≥
или в виде
2112
()(()())()(()()).
xxfxfxxxfxfx
−−≥−−
Разделив почленно последнее неравенство на
21
()(),
xxxx
−−
получим
неравенство
12
12
()()()()
fxfxfxfx
xxxx
−−
≥
−−
из которого следует , что
12
12
()()()()
,
fxfxfxfx
xxxx
−−
≤
−−
(8.5)
12
,(;).
xxxx
∀∈
                                               66
                         x2 − x             x − x1
                     f ( x) ≤    f ( x1 ) +         f ( x2 ) ,
                         x2 − x1            x2 − x1
 x1 .

  Справедливо следующее утверждение.

   Теорема. Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна в промежутке
X и имеет в каждой его точке конечную производную f ′( x ). Для того
чтобы f ( x ) была выпуклой в X , необходимо и достаточно, чтобы её
производная f ′( x ) возрастала в этом промежутке.

                                      Доказательство

   Необходимость. Пусть f ( x ) выпукла в промежутке X . Фиксируем
произвольные точки x1 и x2 из промежутка X , x1 < x2 , и пусть
x ∈ ( x1 ; x2 ). Тогда выполняется соотношение (8.4), которое можно
записать в виде

     ( x2 − x ) f ( x1 ) + ( x1 − x ) f ( x ) + ( x − x2 ) f ( x ) + ( x − x1 ) f ( x2 ) ≥0,

или в виде

               ( x2 − x ) ( f ( x1 ) − f ( x )) ≥ ( x − x1 ) ( f ( x ) − f ( x2 )).

Разделив почленно последнее неравенство на ( x2 − x ) ( x − x1 ), получим
неравенство
                    f ( x1 ) − f ( x )   f ( x ) − f ( x2 )
                                       ≥                    ,
                         x − x1               x2 − x

из которого следует, что

                            f ( x ) − f ( x1 )   f ( x2 ) − f ( x )
                                               ≤                    ,                          (8.5)
                                 x − x1               x2 − x

                                     ∀ x , x ∈ ( x1 ; x2 ).

Страницы