Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

64
Геометрический смысл условия выпуклости
Заметим , что для любых двух точек
1
x
и
2
x
из промежутка
12
,,
Xxx
при любых положительных
1
λ
и
2
λ
таких , что
12
1,
λλ
+=
точка
1122
xx
λλ
лежит между точками
1
x
и
2
.
x
Действительно,
112212221222
(),
xxxxxx
λλλλλλ
+<+=+=
112211211211
().
xxxxxx
λλλλλλ
+>+=+=
Обратно, любая точка
x
из интервала
12
(;)
xx
может быть единственным
образом представлена в виде
1122
,
xxx
λλ
=+
где
1212
0,0,1.
λλλλ
>>+=
В самом деле, допустим , что такое
представление возможно. Тогда оно единственно, поскольку
2
111211221
21
(1)(),,
xx
xxxxxx
xx
λλλλ
=+−=−+=
−
1
212222112
21
(1)(),.
xx
xxxxxx
xx
λλλλ
=−+=−+=
−
Существование требуемого представления вытекает теперь из равенства
2121
12
212121
()
.
xxxxxxx
xxx
xxxxxx
−−−
+==
−−−
Поэтому условие выпуклости (8.1) можно записать в виде
21
12
2121
()()(),
xxxx
fxfxfx
xxxx
−−
≤+
−−
(8.3)
12
,,
xxxx
∀<<
где
1
x
и
2
x
−
произвольные точки промежутка
12
,.
Xxx
Пусть
21
12
2121
()()(),.
xxxx
xfxfxxR
xxxx
ϕ
−−
=+∈
−−
Очевидно, что
()
x
−
линейная функция , причём
112
()(),()
xfxx
ϕϕ
==
2
().
fx
Условие выпуклости (8.3) можно теперь записать в виде 
                                         64
              Геометрический смысл условия выпуклости

   Заметим, что для любых двух точек x1 и x2 из промежутка
X , x1 < x2 , при любых положительных λ1 и λ2 таких, что λ1 + λ2 = 1,
точка λ1 x1 + λ2 x2 лежит между точками x1 и x2 . Действительно,

             λ1 x1 + λ2 x2 < λ1 x2 + λ2 x2 = ( λ1 + λ2 ) x2 = x2 ,

              λ1 x1 + λ2 x2 > λ1 x1 + λ2 x1 = (λ1 + λ2 ) x1 = x1 .

Обратно, любая точка x из интервала ( x1 ; x2 ) может быть единственным
образом     представлена     в      виде        x = λ1 x1 + λ2 x2 ,  где
λ1 > 0, λ2 > 0, λ1 + λ2 = 1. В самом деле, допустим, что такое
представление возможно. Тогда оно единственно, поскольку

                                                             x2          −x
        x = λ1 x1 + (1 −λ1 ) x2 = λ1 ( x1 − x2 ) + x2 , λ1 =                  ,
                                                             x2          − x1
                                                              x          − x1
        x = (1 −λ2 ) x1 + λ2 x2 = λ2 ( x2 − x1 ) + x1 , λ2 =                   .
                                                             x2          − x1

Существование требуемого представления вытекает теперь из равенства

                x2 − x       x − x1       x ( x2 − x1 )
                        x1 +         x2 =               = x.
                x2 − x1      x2 − x1        x2 − x1

   Поэтому условие выпуклости (8.1) можно записать в виде

                            x2 − x             x − x1
                 f ( x) ≤           f ( x1 ) +         f ( x2 ) ,                  (8.3)
                            x2 − x1            x2 − x1

     ∀ x , x1 < x < x2 , где x1 и x2 − произвольные точки промежутка

                                    X , x1 < x2 .
   Пусть

                         x2 − x             x − x1
               ϕ( x) =           f ( x1 ) +         f ( x2 ) , x ∈ R .
                         x2 − x1            x2 − x1

Очевидно, что ϕ ( x ) − линейная функция, причём ϕ ( x1 ) = f ( x1 ), ϕ ( x2 ) =
= f ( x2 ). Условие выпуклости (8.3) можно теперь записать в виде

Страницы