Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 62 стр.

                                           62
                                                   0
   Если f ( 2 m +1) ( x0 ) >0, то для всех x ∈U ( x0 ; δ ) выражение в фигурных
скобках в формуле (7.5) положительно. Поэтому, если x0 −δ < x < x0 , то
( x − x0 ) 2 m +1 <0, и из формулы (7.5) следует, что f ( x ) − f ( x0 ) <0, т.е.
 f ( x ) < f ( x0 ). Если же x0 < x < x0 +δ , то ( x − x0 ) 2 m +1 >0, и из
соотношения (7.5) следует, что f ( x ) − f ( x0 ) >0, т.е. f ( x ) > f ( x0 ).
Поэтому точка x0 является точкой возрастания функции f ( x ).
   Пусть теперь f ( 2 m +1) ( x0 ) <0. Тогда выражение в фигурных скобках в
                                                             0
формуле (7.5) отрицательно для любого x ∈U ( x0 ; δ ) . Поэтому, если
x0 −δ < x < x0 , то ( x − x0 ) 2 m +1 <0, правая часть равенства (7.5)
положительна и потому f ( x ) − f ( x0 ) >0, т.е. f ( x ) > f ( x0 ). Если же
x0 < x < x0 +δ , то ( x − x0 ) 2 m +1 >0, правая часть равенства (7.5)
отрицательна, и потому f ( x ) − f ( x0 ) <0, т.е. f ( x ) < f ( x0 ). Поэтому
точка x0 является точкой убывания функции f ( x ).
   Теорема доказана.

   Замечание. Полагая в данной теореме n =2, получаем следующее
утверждение. Если выполняются условия f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) < 0, то x0
есть точка строгого максимума функции f ( x ). Если же выполняются
условия f ′( x0 ) =0, f ′′( x0 ) >0, то x0 есть точка строгого минимума
функции f ( x ).

       Отыскание наибольших и наименьших значений функций


    Пусть на отрезке [a ; b] задана непрерывная функция f ( x ), которая
дифференцируема на интервале ( a ; b). Будем, кроме того, предполагать,
что на этом интервале содержится лишь конечное число решений
уравнения f ′( x ) = 0. Поскольку функция f ( x ) непрерывна на отрезке
[a ; b], то на этом отрезке найдутся точки, в которых функция принимает
своё наибольшее и своё наименьшее значения. Требуется найти эти
значения.
    Рассмотрим задачу отыскания наибольшего значения. Если наибольшее
значение достигается в некоторой точке ξ ∈( a ; b), то точка ξ является,
очевидно, точкой локального максимума функции f ( x ) и потому может
быть найдена среди решений уравнения f ′( x ) = 0. Но наибольшее
значение может достигаться и в граничной точке промежутка. Поэтому

              max f ( x ) = max ( f ( a ), f (b) , f (ξ1 ) , ... , f (ξl ) ),
              x∈[ a ; b ]