Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

54
1
|()|.
(1)!
n
H
n
H
rxe
n
+
≤
+
Правая часть данного неравенства стремится к нулю при
.
n
→∞
Поэтому
для любого
0
ε
>
найдётся
∈
такое, что будет выполняться
неравенство
1
.
(1)!
n
H
H
e
n
ε
+
<
+
Тогда при данном
n
сразу для всех
x
из промежутка
[;]
HH
−
будет верно
неравенство
|()|.
n
rx
ε
<
2) Пусть
()sin.
fxx
=
Тогда имеет место равенство
35721
1
2
sin...(1)(),,
3!5!7!(21)!
m
m
m
xxxx
xxrxmN
m
−
−
=−+−++−+∈
−
где
(21)
2121
2
sin((21))
()
2
(),01.
(21)!(21)!
m
mm
m
xm
fx
rxxx
mm
π
θ
θ
θ
+
++
++
==<<
++
Поэтому для остатка
2
()
m
rx
справедлива оценка
21
2
||
|()|.
(21)!
m
m
x
rx
m
+
≤
+
Фиксируем произвольное
0.
H
>
Тогда для любого
[;]
xHH
∈−
будет
верно неравенство
21
2
|()|.
(21)!
m
m
H
rx
m
+
≤
+
Поскольку
21
0
(21)!
m
H
m
+
→
+
при
,
m
→∞
то для любого
0
ε
>
найдётся
mN
∈
такое , что будет выполняться условие
21
.
(21)!
m
H
m
ε
+
<
+
Тогда при
данном
m
сразу для всех
x
из промежутка
[;]
HH
−
будет верно
неравенство
2
|()|.
m
rx
ε
<
                                                    54
                                                             H n +1
                                     | rn ( x ) | ≤e   H
                                                                    .
                                                           ( n +1)!

Правая часть данного неравенства стремится к нулю при n → ∞. Поэтому
для любого ε > 0 найдётся n ∈ N такое, что будет выполняться
неравенство
                                  H n +1
                            e H
                                         <ε .
                                ( n +1)!

Тогда при данном n сразу для всех x из промежутка [ −H ; H ] будет верно
неравенство
                              | rn ( x ) | <ε.

   2) Пусть f ( x ) =sin x . Тогда имеет место равенство

                     x3         x5      x7               m −1    x 2 m −1
  sin x = x −               +       −       +... + ( −1)                      + r2 m ( x ) , m ∈ N ,
                     3!         5!      7!                    (2 m −1)!
где
                                                         π
                    ( 2 m +1)                 sin (θ x + (2m +1))
                  f           (θ x ) 2 m +1              2
     r2 m ( x ) =                   x       =                             x 2 m +1 , 0 <θ <1.
                   (2m +1)!                          (2m +1)!

Поэтому для остатка r2 m ( x ) справедлива оценка

                                                          | x |2 m +1
                                      | r2 m ( x ) | ≤                .
                                                         (2m +1)!

Фиксируем произвольное H >0. Тогда для любого x ∈[ −H ; H ] будет
верно неравенство
                                          H 2 m +1
                       | r2 m ( x ) | ≤            .
                                        (2m +1)!
             H 2 m +1
Поскольку             → 0 при m → ∞, то для любого ε >0 найдётся
           (2m +1)!
                                                  H 2 m +1
m ∈ N такое, что будет выполняться условие                 <ε . Тогда при
                                                (2m +1)!
данном m сразу для всех x из промежутка [ −H ; H ] будет верно
неравенство
                             | r2 m ( x ) | <ε.

Страницы