Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

48
Получим ещё одно выражение для функции
().
n
rx
Предположим , что функция
()
fxn
раз дифференцируема в некоторой
окрестности
0
()
Ux
точки
x
и что
()
()
n
fx
непрерывна в точке
0
.
x
Заменяя
в формуле (6.5)
n
на
1,
n
−
получим соотношение
(1)
21
000
0000
()()()
()()()()...()
1!2!(1)!
n
n
fxfxfx
fxfxxxxxxx
n
−
−
′′′
=+−+−++−+
−
()
0
()
(),
!
n
n
f
xx
n
ξ
+− (6.7)
где
00
(),01.
xxx
ξθθ
=+−<<
Заметим , что если
0
,
xx
→
то и
0
.
x
ξ
→
В силу непрерывности
()
()
n
fx
в точке
0
x
получаем , что
0
()()
0
lim()().
nn
xx
ffx
ξ
→
=
Пусть
()()
0
0
0
()()
(),().
!!
nn
fxf
xxUx
nn
ξ
α=−∈
Поскольку
()()
0
()
()
()
!!
nn
fx
f
x
nn
ξ
α=+
и
00
()()(())
nn
xxxoxxα −=−
в силу того, что
()0
x
α
→
при
0
,
xx
→
то,
подставляя в формулу (6.7) выражение для
()
()/!,
n
fn
ξ
получим
соотношение
(1)
21
000
0000
()()()
()()()()...()
1!2!(1)!
n
n
fxfxfx
fxfxxxxxxx
n
−
−
′′′
=+−+−++−+
−
()
0
000
()
()(()),.
!
n
nn
fx
xxoxxxx
n
+−+−→ (6.8)
Таким образом , в рассматриваемом случае
0
()(()).
n
n
rxoxx=−
Данная
форма дополнительного члена называется формой Пеано, а сама формула
(6.8) называется формулой Тейлора с дополнительным членом в форме
Пеано. 
                                                      48
   Получим ещё одно выражение для функции rn ( x ).

   Предположим, что функция f ( x ) n раз дифференцируема в некоторой
окрестности U ( x0 ) точки x0 и что f ( n ) ( x ) непрерывна в точке x0 . Заменяя
в формуле (6.5) n на n −1, получим соотношение

                     f ′( x0 )              f ′′( x0 )                   f ( n −1) ( x0 )
f ( x ) = f ( x0 ) +           ( x − x0 ) +            ( x − x0 ) +... +
                                                                 2
                                                                                          ( x − x0 ) n −1 +
                        1!                     2!                         ( n −1)!

                                             f ( n ) (ξ )
                                           +              ( x − x0 ) n ,                                (6.7)
                                                 n!

где ξ = x0 +θ ( x − x0 ), 0 <θ <1. Заметим, что если x → x0 , то и ξ → x0 .
В силу непрерывности f ( n ) ( x ) в точке x0 получаем, что

                                       lim f ( n ) (ξ ) = f ( n ) ( x0 ).
                                       x → x0

  Пусть
                                    f ( n ) (ξ )   f ( n ) ( x0 )      0
                           α ( x) =              −                , x ∈U ( x0 ).
                                        n!              n!
Поскольку
                                     f ( n ) (ξ )   f ( n ) ( x0 )
                                                  =                +α ( x )
                                         n!              n!

и α ( x ) ( x − x0 ) n = o( ( x − x0 ) n ) в силу того, что α ( x ) → 0 при x → x0 , то,
подставляя в формулу (6.7) выражение для                                       f ( n ) (ξ ) / n !,   получим
соотношение

                       f ′( x0 )              f ′′( x0 )                     f ( n −1) ( x0 )
f ( x ) = f ( x0 ) +             ( x − x0 ) +            ( x − x0 ) 2 +... +                  ( x − x0 ) n −1 +
                          1!                     2!                           ( n −1)!

                          f ( n ) ( x0 )
                        +                ( x − x0 ) n + o( ( x − x0 ) n ), x → x0 .                     (6.8)
                              n!


   Таким образом, в рассматриваемом случае rn ( x ) = o( ( x − x0 )n ). Данная
форма дополнительного члена называется формой Пеано, а сама формула
(6.8) называется формулой Тейлора с дополнительным членом в форме
Пеано.

Страницы