Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

45
так, что
()()().
nn
fxPxrx
=+
Из соотношений (6.1) следует , что
()
0
()0,0,1,...,,
k
n
rxkn
== но, вообще
говоря,
()0.
n
rx
≠
Для получения оценки для
n
rx
наложим на функцию
fx
более
жёсткие ограничения . Именно, будем предполагать, что функция
()
fx
1
n
+
раз дифференцируема в каждой точке промежутка
.
X
Фиксируем произвольную точку
0
,,
xXxx
∈≠
и пусть, для
определённости,
0
.
xx
>
Заметим , что функция
n
rx
имеет вид
2
00
000
()()
()()()()()...
1!2!
n
fxfx
rxfxfxxxxx
′′′
=−−−−−−−
()
0
0
()
().
!
n
n
fx
xx
n
−−
Рассмотрим на отрезке
0
[;]
xx
функцию
()
z
ϕ
вида
()
2
()()()
()()()()()...().
1!2!!
n
n
fzfzfz
zfxfzxzxzxz
n
ϕ
′′′
=−−−−−−−−
Данная функция имеет конечную производную в каждой точке отрезка
0
[;]
xx
и потому непрерывна на этом отрезке, причём
0
()0,()().
n
xxrx
ϕϕ
==
Найдём производную функции
():
z
ϕ
2
()()()()
()()()()()
1!1!2!1!
fzfzfzfz
zfzxzxzxzϕ
′′′′′′′′

′′
=−−−−−−−−−


(1)()(1)
1
()()()
...()()().
!(1)!!
nnn
nnn
fzfzfz
xzxzxz
nnn
++
−

−−−−−=−−

−

Рассмотрим произвольную функцию
(),
z
φ
непрерывную на отрезке
0
[;],
xx
дифференцируемую на интервале
0
(;)
xx
и такую, что
()0
z
φ
′
≠
для
0
(;).
zxx
∀∈
Применив к функциям
()
z
ϕ
и
(),
z
φ
рассматриваемым на
отрезке
0
[;],
xx
теорему Коши, получим , что 
                                                       45
так, что
                                         f ( x ) = Pn ( x ) + rn ( x ).

Из соотношений (6.1) следует, что rn( k ) ( x0 ) =0, k =0,1,... , n , но, вообще
говоря, rn ( x ) ≠0.
   Для получения оценки для rn ( x ) наложим на функцию f ( x ) более
жёсткие ограничения. Именно, будем предполагать, что функция f ( x )
n +1 раз дифференцируема в каждой точке промежутка X .
   Фиксируем произвольную точку x ∈ X , x ≠ x0 , и пусть, для
определённости, x > x0 . Заметим, что функция rn ( x ) имеет вид

                                             f ′( x0 )              f ′′( x0 )
         rn ( x ) = f ( x ) − f ( x0 ) −               ( x − x0 ) −            ( x − x0 ) 2 −... −
                                                1!                     2!

                                          f ( n ) ( x0 )
                                        −                ( x − x0 ) n .
                                               n!

   Рассмотрим на отрезке [ x0 ; x ] функцию ϕ ( z ) вида

                           f ′( z )            f ′′( z )                  f (n) ( z)
 ϕ( z) = f ( x) − f ( z) −          ( x − z) −           ( x − z ) −... −
                                                                  2
                                                                                     ( x − z )n .
                             1!                  2!                          n!

    Данная функция имеет конечную производную в каждой точке отрезка
[ x0 ; x ]   и       потому        непрерывна   на   этом   отрезке, причём
ϕ ( x ) =0, ϕ ( x0 ) = rn ( x ). Найдём производную функции ϕ ( z ):


                          � f ′′( z )            f ′( z ) �   � f ′′′( z )               f ′′( z )            �
ϕ ′( z ) =− f ′( z ) −�               ( x − z) −       � �  −              ( x − z ) 2
                                                                                       −           ( x −z) � −
                         � 1!                      1! � �          2!                      1!               �


                � f ( n +1) ( z )               f (n) ( z)                   � f ( n +1) ( z )
      −... −�                     ( x − z )n −             ( x − z ) n −1 � =−                 ( x − z )n .
            �           n!                     ( n −1)!                    �         n!


    Рассмотрим произвольную функцию φ( z ) , непрерывную на отрезке
[ x0 ; x ], дифференцируемую на интервале ( x0 ; x ) и такую, что φ′( z ) ≠0
для ∀ z ∈ ( x0 ; x ). Применив к функциям ϕ ( z ) и φ( z ) , рассматриваемым на
отрезке [ x0 ; x ], теорему Коши, получим, что

Страницы